Doutorado
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  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
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Teoria de Galois


A teoria de Galois, nomeada em homenagem ao matemático Évariste Galois, é uma rica área da álgebra abstrata que estuda as simetrias das equações polinomiais. Ela proporciona uma conexão profunda entre a teoria dos corpos e a teoria dos grupos, oferecendo uma visão sobre a solvabilidade das equações por radicais.

Introdução aos corpos e extensões de corpos

Um corpo é um conjunto equipado com duas operações, adição e multiplicação, que satisfazem certos axiomas semelhantes aos da aritmética familiar dos números racionais. O exemplo mais simples de um corpo é o conjunto ℚ dos números racionais. Outros exemplos incluem o corpo ℝ dos números reais, o corpo ℂ dos números complexos e os corpos finitos.

Exemplo de corpo: ℚ

Uma extensão de corpo é um corpo maior que contém um corpo menor como subcorpo. Por exemplo, ℝ é uma extensão de ℚ porque contém todos os números racionais, bem como elementos adicionais, como √2.

Extensão de corpo: ℝ ⊃ ℚ

Equações polinomiais e raízes

Considere uma equação polinomial como x 3 - 2 = 0. As raízes deste polinômio são as soluções dessa equação. No corpo dos números racionais ℚ, este polinômio não possui raízes, pois o cubo de qualquer número racional não é igual a 2. No entanto, se estendermos nosso corpo para incluir os números complexos, podemos encontrar soluções, como √[3]{2}.

Solvável por radicais

Uma equação polinomial é chamada de solvável por radicais se suas raízes podem ser expressas usando uma combinação finita de adição, subtração, multiplicação, divisão e tomada de raízes enésimas. Por exemplo, o polinômio quadrático x 2 - 4 = 0 é solvável por radicais, pois suas soluções são ±2.

Solvável por radicais: x 2 -4=0 ⇒ x=±2

Grupo de Galois

A ideia principal da teoria de Galois é estudar as simetrias das raízes de uma equação polinomial através do conceito de grupo de Galois. O grupo de Galois é um grupo de permutações das raízes de um polinômio que preserva as relações algébricas entre essas raízes.

Para construir o grupo de Galois de um polinômio, considere as raízes do polinômio como elementos de um corpo maior conhecido como corpo de decomposição. Cada elemento (permutação) do grupo de Galois corresponde a um automorfismo desse corpo que fixa o corpo base.

Visualização dos grupos de Galois

Vamos olhar para esse conceito com um polinômio simples x 2 - 2 = 0. Suas raízes são ±√2. O corpo de decomposição para este polinômio em ℚ é ℚ(√2).

Raiz: ±√2, Área de divisão: ℚ(√2)

O grupo de Galois aqui tem dois automorfismos: a identidade (deixando cada elemento inalterado) e outro que substitui √2 por -√2. Este grupo é isomorfo ao grupo cíclico de ordem 2, denotado por 

C 2
.

Teorema fundamental da teoria de Galois

Um dos principais resultados da teoria de Galois é o teorema fundamental da teoria de Galois. Ele afirma que há uma correspondência um-para-um entre subcorpos de uma extensão de corpo e subgrupos do grupo de Galois associado.

Essa correspondência é reversa em inclusão, o que significa que um subgrupo menor corresponde a um subcorpo maior, e vice-versa. Este poderoso teorema nos ajuda a entender extensões complexas de corpos estudando estruturas de grupos simples.

Exemplo: Resolução da equação quíntica

Historicamente, a aplicação mais conhecida da teoria de Galois é a resolução de equações polinomiais de grau elevado. Por exemplo, a teoria de Galois fornece uma visão sobre a questão de se a equação geral do quinto grau pode ser resolvida por radicais.

Uma equação geral do quinto grau é da forma:

 ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f = 0
A teoria de Galois mostra que, para um polinômio geral de grau cinco (ou superior), não há uma fórmula, semelhante à fórmula quadrática, que use somente aritmética básica e extração de raízes para resolvê-lo em todos os casos. Isso porque o grupo de Galois de um quíntuplo geral é o grupo simétrico S 5, que não é um grupo solvável.

Exemplo de extensões de Galois

Suponha que queremos entender a extensão de ℚ ℚ(√3). As raízes do polinômio x 2 - 3 = 0 são ±√3. O grupo de Galois para esta extensão também é C 2, que é o mesmo do exemplo acima, pois o mesmo raciocínio se aplica: o isomorfismo envolve a troca das raízes.

Aplicações e implicações

A teoria de Galois tem um impacto profundo não apenas na matemática pura, mas também em áreas como criptografia e teoria da codificação. Ela ajuda a entender a estrutura das expansões de corpos, a resolver equações polinomiais e a analisar simetrias em várias estruturas matemáticas.

Na criptografia, corpos finitos, que são centrais para muitos sistemas criptográficos, podem ser analisados usando as ferramentas da teoria de Galois para garantir segurança e eficiência. Na teoria da codificação, a compreensão das raízes polinomiais pode melhorar os métodos de detecção e correção de erros.

Considerações finais

A teoria de Galois é uma área profunda e sofisticada da álgebra que combina a teoria dos corpos e a teoria dos grupos. Ela explica a natureza das equações polinomiais, fornecendo uma estrutura poderosa para entender a solvabilidade das equações e a estrutura das extensões de corpos.

Ao estudar as simetrias das equações através dos grupos de Galois, os matemáticos podem obter insights profundos sobre o universo dos números e descobrir belas soluções para complexos problemas algébricos.


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