Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Teoría de Galois


La teoría de Galois, nombrada en honor al matemático Évariste Galois, es un rico campo del álgebra abstracta que estudia las simetrías de las ecuaciones polinomiales. Proporciona una conexión profunda entre la teoría de campos y la teoría de grupos, ofreciendo una comprensión de la resolubilidad de ecuaciones por radicales.

Introducción a campos y extensiones de campos

Un campo es un conjunto equipado con dos operaciones, suma y multiplicación, que satisfacen ciertos axiomas similares a los de la aritmética familiar de los números racionales. El ejemplo más simple de un campo es el conjunto ℚ de números racionales. Otros ejemplos incluyen el campo ℝ de números reales, el campo ℂ de números complejos y los campos finitos.

Ejemplo de campo: ℚ

Una extensión de campo es un campo más grande que contiene un campo más pequeño como subcampo. Por ejemplo, ℝ es una extensión de campo de ℚ porque contiene todos los números racionales así como elementos adicionales como √2.

Extensión de campo: ℝ ⊃ ℚ

Ecuaciones polinomiales y raíces

Considera una ecuación polinomial como x 3 - 2 = 0 Las raíces de este polinomio son las soluciones de esta ecuación. En el campo de los números racionales ℚ, este polinomio no tiene raíces, ya que el cubo de cualquier número racional no es igual a 2. Sin embargo, si extendemos nuestro campo para incluir los números complejos, podemos encontrar soluciones, como √[3]{2}.

Solvible por radicales

Una ecuación polinomial se llama solvible por radicales si sus raíces pueden ser expresadas usando una combinación finita de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces n-ésimas. Por ejemplo, el polinomio cuadrático x 2 - 4 = 0 es solvible por radicales, ya que sus soluciones son ±2.

Solvible por radicales: x 2 -4=0 ⇒ x=±2

Grupo de Galois

La idea principal de la teoría de Galois es estudiar las simetrías de las raíces de una ecuación polinomial mediante el concepto de el grupo de Galois. El grupo de Galois es un grupo de permutaciones de las raíces de un polinomio que preserva las relaciones algebraicas entre estas raíces.

Para construir el grupo de Galois de un polinomio, considera las raíces del polinomio como elementos de un campo más grande conocido como el campo de descomposición. Cada elemento (permutación) del grupo de Galois corresponde a un automorfismo de este campo que fija el campo base.

Visualización de grupos de Galois

Veamos este concepto con un polinomio simple x 2 - 2 = 0 Sus raíces son ±√2. El campo de descomposición para este polinomio sobre ℚ es ℚ(√2).

Raíz: ±√2, Área de división: ℚ(√2)

El grupo de Galois aquí tiene dos automorfismos: la identidad (que deja cada elemento sin cambiar) y otro que reemplaza √2 por -√2. Este grupo es isomorfo al grupo cíclico de orden 2, denotado por 

C 2
.

Teorema fundamental de la teoría de Galois

Uno de los principales resultados de la teoría de Galois es el teorema fundamental de la teoría de Galois. Establece que hay una correspondencia uno a uno entre los subcampos de una extensión de campo y los subgrupos del grupo de Galois asociado.

Esta correspondencia es inversa a la inclusión, lo que significa que un subgrupo más pequeño corresponde a un subcampo más grande y viceversa. Este poderoso teorema nos ayuda a entender extensiones de campo complejas estudiando estructuras de grupo simples.

Ejemplo: Resolviendo la ecuación quíntica

Históricamente, la aplicación más conocida de la teoría de Galois es la resolución de ecuaciones polinomiales de alto grado. Por ejemplo, la teoría de Galois ofrece una comprensión sobre la cuestión de si la ecuación quíntica general puede ser resuelta por radicales.

Una ecuación quíntica general es de la forma:

 ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f = 0
La teoría de Galois muestra que para un polinomio general de grado cinco (o superior), no existe una fórmula, similar a la fórmula cuadrática, que use solo aritmética básica y extracción de raíces para resolverlo en todos los casos. Esto se debe a que el grupo de Galois de un quíntico general es el grupo simétrico S 5, que no es un grupo resoluble.

Ejemplo de extensiones de Galois

Supongamos que queremos entender la extensión de ℚ ℚ(√3). Las raíces del polinomio x 2 - 3 = 0 son ±√3. El grupo de Galois para esta extensión es también C 2, que es el mismo que el ejemplo anterior, ya que la misma lógica se aplica: el isomorfismo implica el intercambio de las raíces.

Aplicaciones e implicaciones

La teoría de Galois tiene un impacto profundo no solo en matemáticas puras sino también en campos como la criptografía y la teoría de códigos. Ayuda a entender la estructura de las expansiones de campo, resolver ecuaciones polinomiales y analizar las simetrías en varias estructuras matemáticas.

En criptografía, los campos finitos, que son centrales para muchos sistemas criptográficos, pueden ser analizados usando las herramientas de la teoría de Galois para asegurar seguridad y eficiencia. En la teoría de códigos, un entendimiento de las raíces de polinomios puede mejorar los métodos de detección y corrección de errores.

Comentarios finales

La teoría de Galois es un área profunda y sofisticada del álgebra que combina la teoría de campos y la teoría de grupos. Explica la naturaleza de las ecuaciones polinomiales, proporcionando un marco poderoso para entender la resolubilidad de las ecuaciones y la estructura de las extensiones de campo.

Al estudiar las simetrías de las ecuaciones a través de grupos de Galois, los matemáticos pueden obtener profundos conocimientos sobre el universo de los números y descubrir hermosas soluciones a complejos problemas algebraicos.


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