Расширения полей

В математике, особенно в абстрактной алгебре, поля являются мощными структурами, которые позволяют нам понимать различные математические концепции. Поле можно рассматривать как множество, наделённое двумя операциями: сложением и умножением, которые удовлетворяют определённым свойствам. Примером поля является множество рациональных чисел, обозначаемое как ℚ. Теперь представьте, как мы можем исследовать более крупные поля, содержащие дополнительные элементы, отсутствующие в нашем исходном поле. Это исследование приводит нас к концепции расширения поля.

Расширение поля — это, по сути, более крупное поле, содержащее меньшее поле. Если обозначить меньшее поле как F, а большее поле как K, мы говорим, что K является расширением F, обозначаемым как K/F. Изучение расширений полей даёт представление о структуре и поведении полей, что приводит к значительным результатам в алгебре.

Определения и основные понятия

Чтобы понять расширение поля, начнём с некоторых определений:

Поле: Поле — это множество F, обладающее двумя операциями: сложением и умножением, которые удовлетворяют следующим свойствам:

• Замкнутость относительно сложения и умножения
• Ассоциативность сложения и умножения
• Коммутативность сложения и умножения
• Существование аддитивной и мультипликативной нейтральных элементов
• Существование аддитивного обратного элемента для каждого элемента
• Существование мультипликативного обратного элемента для каждого ненулевого элемента
• Дистрибутивный закон: a(b + c) = ab + ac

Расширение поля: Дано поле F. Поле K называется расширением F, если K содержит F и имеет структуру поля. Иными словами, F является подполем K

Степень расширения, обозначаемая [K : F], является размерностью K как векторного пространства над F. Если расширение является конечным, мы можем записать: [K : F] = n, где n — положительное целое число. Бесконечное расширение не имеет конечной степени.

Примеры расширений полей

Пример 1: Комплексные числа над вещественными числами

Один из самых известных примеров расширения поля — это поле комплексных чисел, обозначаемое как ℂ, над полем вещественных чисел ℝ. Комплексные числа включают числа вида a + bi, где a и b — вещественные числа, а i — мнимая единица, обладающая свойством i 2 = -1.

ℂ = ℝ(i)

Здесь степень расширения [ℂ : ℝ] равна 2, так как любое комплексное число можно выразить как линейную комбинацию 1 и i над ℝ:

a + bi = a*1 + b*i

Это выражение показывает, что {1, i} является базисом для ℂ над ℝ.

Пример 2: Алгебраическое расширение

Рассмотрим поле рациональных чисел ℚ и многочлен x 2 - 2. Этот многочлен не имеет корней в ℚ. Чтобы найти расширение поля, содержащее корни этого многочлена, можно рассмотреть поле ℚ(√2), состоящее из чисел вида a + b√2, где a и b — рациональные числа.

ℚ(√2) = { a + b√2 | a, b in ℚ }

В этом случае [ℚ(√2) : ℚ] = 2, поскольку √2 является корнем многочлена x 2 - 2, и каждый элемент ℚ(√2) можно уникально выразить как линейную комбинацию 1 и √2 над ℚ.

Типы расширений полей

Конечное расширение

Расширение K/F называется конечным, если степень [K : F] является конечной. Применения конечных расширений находятся в теории кодирования, криптографии и других областях.

Бесконечные расширения

Расширение K/F называется бесконечным, если [K : F] бесконечна. Бесконечные расширения важны в изучении трансцендентности и алгебраической свободы.

Алгебраическое расширение

Элемент α в K является алгебраическим над F, если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами в F. Расширение K/F называется алгебраическим, если каждый элемент K является алгебраическим над F

Трансцендентное расширение

Расширение K/F является трансцендентным, если существует хотя бы один элемент в K, не являющийся алгебраическим над F. Это означает, что элемент не может быть корнем какого-либо многочлена с коэффициентами в F

Свойства расширений полей

Закон башни

Закон башни — это важное свойство расширений полей, которое связывает степень расширения. Если у нас есть расширения L/K и K/F, то закон башни утверждает:

[L : F] = [L : K] * [K : F]

Это означает, что общая степень расширения является произведением степеней отдельных расширений.

Простые расширения

Простое расширение — это расширение поля, которое может быть получено добавлением одного элемента к основному полю. Например, поле ℚ(√2) является простым расширением ℚ, порождаемым √2.

F(α) = { f(α)/g(α) | f, g are polynomials in F }

Здесь α является корнем некоторого многочлена в F, и данное обозначение обозначает все элементы, которые могут быть выражены как отношения многочленов с коэффициентами в F

Применение расширения полей

Расширения полей имеют множество применений в различных областях математики и связанных с ними областях:

Теория Галуа

Расширения полей составляют основу для теории Галуа, которая исследует связи между расширениями полей и теорией групп. Теория Галуа помогает понять разрешимость уравнений многочленов и нахождение корней многочленов.

Решение уравнений многочленов

Расширения полей являются фундаментальными для решения многочленов, которые не могут быть решены в границах исходного поля. Например, расширение позволяет решить ℚ(√2) x 2 - 2 = 0.

Алгебраическая теория чисел

Расширения полей играют важную роль в алгебраической теории чисел, где целые числа обобщаются на алгебраические целые, а решения уравнений исследуются в больших полях.

Заключение

Расширения полей являются основой теории полей, предоставляя важные инструменты для углубления нашего понимания алгебраических структур. Исследуя расширения полей, мы открываем сложные отношения между различными полями и получаем глубокие представления о многочленах, алгебраических числах и многом другом. Изучение расширений полей остаётся активной и важной областью в чистой математике, влияя на множество применений в науках и инженерии.

комментарии