Extensões de corpos

Em matemática, particularmente na álgebra abstrata, os corpos são estruturas poderosas que nos permitem entender uma variedade de conceitos matemáticos. Um corpo pode ser pensado como um conjunto equipado com duas operações, adição e multiplicação, que satisfazem certas propriedades. Um exemplo de corpo é o conjunto dos números racionais, denotado por ℚ. Agora, imagine como podemos explorar corpos maiores que contêm elementos adicionais não presentes em nosso corpo original. Essa exploração nos leva ao conceito de extensão de corpo.

Uma extensão de corpo é essencialmente um corpo maior que contém um corpo menor. Se denotarmos o corpo menor por F e o corpo maior por K, dizemos que K é uma extensão de F, escrita como K/F. O estudo das extensões de corpos fornece insights sobre a estrutura e o comportamento dos corpos, levando a resultados profundos na álgebra.

Definições e conceitos básicos

Para entender a extensão de corpo, comecemos com algumas definições:

Corpo: Um corpo é um conjunto F com duas operações, adição e multiplicação, que satisfazem as seguintes propriedades:

• Fechamento sob adição e multiplicação
• Associatividade da adição e multiplicação
• Comutatividade da adição e multiplicação
• Existência de identidade aditiva e multiplicativa
• Existência de inverso aditivo para cada elemento
• Existência de inverso multiplicativo para cada elemento não nulo
• Lei distributiva: a(b + c) = ab + ac

Extensão de corpo: Dado um corpo F, um corpo K é chamado de extensão de F se K contém F e tem a estrutura de um corpo. Em outras palavras, F é um subcorpo de K

O grau de uma extensão, denotado por [K : F], é a dimensão de K como espaço vetorial sobre F. Se a extensão for finita, podemos escrever: [K : F] = n, onde n é um número inteiro positivo. Uma extensão infinita não tem grau finito.

Exemplos de extensões de corpos

Exemplo 1: Números complexos sobre os números reais

Um dos exemplos mais famosos de uma extensão de corpo é o corpo dos números complexos, denotado por ℂ sobre o corpo dos números reais ℝ. Os números complexos incluem números da forma a + bi onde a e b são números reais, e i é uma unidade imaginária com a propriedade i2 = -1.

ℂ = ℝ(i)

Aqui, o grau da extensão [ℂ : ℝ] é 2 uma vez que qualquer número complexo pode ser expresso como uma combinação linear de 1 e i sobre ℝ:

a + bi = a*1 + b*i

Esta expressão mostra que {1, i} é uma base para ℂ sobre ℝ.

Exemplo 2: Expansão algébrica

Considere o corpo dos números racionais ℚ e o polinômio x2 - 2. Este polinômio não possui raízes em ℚ. Para encontrar uma extensão de corpo que contém as raízes deste polinômio, podemos considerar o corpo ℚ(√2), que consiste em números da forma a + b√2 onde a e b são números racionais.

ℚ(√2) = { a + b√2 | a, b em ℚ }

Neste caso, [ℚ(√2) : ℚ] = 2 uma vez que √2 é uma raiz do polinômio x2 - 2, e cada elemento de ℚ(√2) pode ser expresso de forma única como uma combinação linear de 1 e √2 sobre ℚ.

Tipos de extensões de corpos

Extensão finita

Uma extensão K/F é chamada de finita se o grau [K : F] for finito. As aplicações das extensões finitas estão na teoria de códigos, criptografia e mais.

Extensões infinitas

Uma extensão K/F é chamada de infinita se [K : F] for infinita. As extensões infinitas são importantes no estudo da transcendência e liberdade algébrica.

Extensão algébrica

Um elemento α em K é algébrico sobre F se é uma raiz de um polinômio não nulo com coeficientes em F. Uma extensão K/F é chamada de algébrica se todo elemento de K for algébrico sobre F

Extensão transcendental

Uma extensão K/F é transcendental se houver pelo menos um elemento em K que não seja algébrico sobre F. Isso significa que o elemento não pode ser uma raiz de qualquer polinômio com coeficientes em F

Propriedades das extensões de corpos

Lei da Torre

A Lei da Torre é uma propriedade importante das extensões de corpos que relaciona o grau da extensão. Se temos extensões L/K e K/F, então a Lei da Torre afirma:

[L : F] = [L : K] * [K : F]

Isso significa que o grau total da extensão é o produto dos graus individuais.

Extensões simples

Uma extensão simples é uma extensão de corpo que pode ser gerada ao adicionar um único elemento ao corpo base. Por exemplo, o corpo ℚ(√2) é uma extensão simples de ℚ gerada por √2.

F(α) = { f(α)/g(α) | f, g são polinômios em F }

Aqui, α é uma raiz de algum polinômio em F, e a notação acima denota todos os elementos que podem ser expressos como razões de polinômios com coeficientes em F

Aplicações das extensões de corpos

As extensões de corpos têm muitas aplicações em vários ramos da matemática e áreas afins:

Teoria de Galois

As extensões de corpos formam a base para a teoria de Galois, que explora as conexões entre extensões de corpos e teoria dos grupos. A teoria de Galois ajuda a entender a solubilidade de equações polinomiais e a encontrar as raízes dos polinômios.

Resolução de equações polinomiais

As extensões de corpos são fundamentais para resolver polinômios que não podem ser resolvidos dentro das limitações do corpo original. Por exemplo, a extensão permite resolver ℚ(√2) x2 - 2 = 0.

Teoria dos números algébricos

As extensões de corpos desempenham um papel importante na teoria dos números algébricos, onde os inteiros são generalizados para os inteiros algébricos, e soluções de equações são investigadas sobre grandes corpos.

Conclusão

As extensões de corpos são a pedra angular da teoria dos corpos, fornecendo ferramentas essenciais para aprimorar nossa compreensão das estruturas algébricas. Ao explorar extensões de corpos, descobrimos relações complexas entre diferentes corpos e obtemos profundas percepções sobre equações polinomiais, números algébricos e muito mais. O estudo das extensões de corpos continua sendo uma área vibrante e essencial na matemática pura, influenciando uma variedade de aplicações em ciência e engenharia.

Comentários