Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

Doctorado → Comprendiendo el Álgebra → Teoría de campos ↓


Extensiones de campos


En matemáticas, particularmente en álgebra abstracta, los campos son estructuras poderosas que nos permiten entender una variedad de conceptos matemáticos. Un campo puede considerarse como un conjunto equipado con dos operaciones, adición y multiplicación, que satisfacen ciertas propiedades. Un ejemplo de un campo es el conjunto de números racionales, denotado por ℚ. Ahora, imaginemos cómo podríamos explorar campos más grandes que contengan elementos adicionales que no están presentes en nuestro campo original. Esta exploración nos lleva al concepto de extensión de campo.

Una extensión de campo es esencialmente un campo más grande que contiene un campo más pequeño. Si denotamos el campo más pequeño por F y el campo más grande por K, decimos que K es una extensión de F, escrito como K/F. El estudio de las extensiones de campo proporciona información sobre la estructura y el comportamiento de los campos, llevando a resultados profundos en álgebra.

Definiciones y conceptos básicos

Para entender las extensiones de campo, comencemos con algunas definiciones:

Campo: Un campo es un conjunto F que tiene dos operaciones, adición y multiplicación, que satisfacen las siguientes propiedades:

  • Cerradura bajo adición y multiplicación
  • Asociatividad de la adición y la multiplicación
  • Conmutatividad de la adición y la multiplicación
  • Existencia de identidades aditiva y multiplicativa
  • Existencia de inverso aditivo para cada elemento
  • Existencia de inverso multiplicativo para cada elemento distinto de cero
  • Ley distributiva: a(b + c) = ab + ac

Extensión de campo: Dado un campo F, un campo K se llama una extensión de F si K contiene a F y tiene la estructura de un campo. En otras palabras, F es un subcampo de K

El grado de una extensión, denotado por [K : F], es la dimensión de K como espacio vectorial sobre F. Si la extensión es finita, podemos escribir: [K : F] = n, donde n es un número entero positivo. Una extensión infinita no tiene un grado finito.

Ejemplos de extensiones de campo

Ejemplo 1: Números complejos sobre los números reales

Uno de los ejemplos más famosos de una extensión de campo es el campo de los números complejos, denotado por ℂ sobre el campo de los números reales ℝ. Los números complejos incluyen números de la forma a + bi donde a y b son números reales, y i es una unidad imaginaria con la propiedad i 2 = -1.

ℂ = ℝ(i)

Aquí, el grado de la extensión [ℂ : ℝ] es 2 ya que cualquier número complejo se puede expresar como una combinación lineal de 1 e i sobre ℝ:

a + bi = a*1 + b*i

Esta expresión muestra que {1, i} es una base para ℂ sobre ℝ.

Ejemplo 2: Expansión algebraica

Considere el campo de los números racionales ℚ y el polinomio x 2 - 2. Este polinomio no tiene raíces en ℚ. Para encontrar una extensión de campo que contenga las raíces de este polinomio, podemos considerar el campo ℚ(√2), que consiste en números de la forma a + b√2 donde a y b son números racionales.

ℚ(√2) = { a + b√2 | a, b en ℚ }

En este caso, [ℚ(√2) : ℚ] = 2 ya que √2 es una raíz del polinomio x 2 - 2, y cada elemento de ℚ(√2) se puede expresar de manera única como una combinación lineal de 1 y √2 sobre ℚ.

ℚ ℚ(√2)

Tipos de extensiones de campo

Extensión finita

Una extensión K/F se llama finita si el grado [K : F] es finito. Las aplicaciones de las extensiones finitas se encuentran en la teoría de códigos, la criptografía, y más.

Extensiones infinitas

Una extensión K/F se llama infinita si [K : F] es infinita. Las extensiones infinitas son importantes en el estudio de la trascendencia y la libertad algebraica.

Extensión algebraica

Un elemento α en K es algebraico sobre F si es una raíz de un polinomio no nulo con coeficientes en F. Una extensión K/F se llama algebraica si cada elemento de K es algebraico sobre F

Extensión trascendental

Una extensión K/F es trascendental si existe al menos un elemento en K que no es algebraico sobre F. Esto significa que el elemento no puede ser una raíz de ningún polinomio con coeficientes en F

Propiedades de las extensiones de campo

Ley de la torre

La Ley de la Torre es una propiedad importante de las extensiones de campo que relaciona el grado de la extensión. Si tenemos extensiones L/K y K/F, entonces la Ley de la Torre establece:

[L : F] = [L : K] * [K : F]

Esto significa que el grado total de la extensión es el producto de los grados individuales.

Extensiones simples

Una extensión simple es una extensión de campo que puede generarse agregando un solo elemento al campo base. Por ejemplo, el campo ℚ(√2) es una extensión simple de ℚ generada por √2.

F(α) = { f(α)/g(α) | f, g son polinomios en F }

Aquí, α es una raíz de algún polinomio en F, y la notación anterior denota todos los elementos que pueden expresarse como cocientes de polinomios con coeficientes en F

F f(α) K

Aplicaciones de la extensión de campo

Las extensiones de campo tienen muchas aplicaciones en varias ramas de las matemáticas y campos relacionados:

Teoría de Galois

Las extensiones de campo forman la base de la teoría de Galois, que explora las conexiones entre extensiones de campo y teoría de grupos. La teoría de Galois ayuda a entender la solubilidad de ecuaciones polinómicas y a encontrar las raíces de polinomios.

Solución de ecuaciones polinómicas

Las extensiones de campo son fundamentales para resolver polinomios que no pueden resolverse dentro de los límites del campo original. Por ejemplo, la extensión permite resolver ℚ(√2) x 2 - 2 = 0.

Teoría algebraica de números

Las extensiones de campo juegan un papel importante en la teoría algebraica de números, donde los enteros se generalizan a los enteros algebraicos, y las soluciones de ecuaciones se investigan sobre campos más grandes.

Conclusión

Las extensiones de campo son la piedra angular de la teoría de campos, proporcionando herramientas esenciales para mejorar nuestra comprensión de las estructuras algebraicas. Al explorar las extensiones de campo, descubrimos relaciones complejas entre diferentes campos y obtenemos una profunda comprensión de las ecuaciones polinómicas, los números algebraicos, y mucho más. El estudio de las extensiones de campo sigue siendo un área vibrante y esencial en matemáticas puras, influyendo en una variedad de aplicaciones en ciencias e ingeniería.


Doctorado → 1.3.1


U
username
0%
completado en Doctorado

← Anterior (1.3)
Teoría de campos
Siguiente (1.3.2) →
División de áreas

Comentarios 



Extensiones de campos

https://www.buddymath.com/phd/1.3.1?bmal=es