Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Понимание алгебры → Теория колец ↓


Артиниевы кольца


В теории колец, ветви абстрактной алгебры, артиниевы кольца играют ключевую роль в понимании алгебраических структур, предоставляя основу для различных алгебраических концепций и теорем. Названные в честь австрийского математика Эмиля Артина, эти кольца специально определяются условием убывающей цепи на идеалах. Прежде чем углубиться в артиниевы кольца, важно кратко обсудить некоторые основные концепции теории колец, такие как определение колец, идеалов и другую соответствующую терминологию.

Основные определения и концепции

Кольцо — это математическая структура, состоящая из множества, оснащенного двумя бинарными операциями: сложением и умножением. Множество замкнуто относительно этих операций и подчиняется определенным правилам. Точнее, кольцо ( R ) должно удовлетворять следующим условиям:

  • Замкнутость относительно сложения и умножения.
  • Сложение ассоциативно и коммутативно.
  • Умножение ассоциативно.
  • Существует аддитивная нейтральная единица, обозначаемая 0, такая что для всех ( a in R, ) ( a + 0 = a. )
  • Каждый элемент ( a ) в кольце имеет аддитивный обратный элемент ( -a ) такой, что ( a + (-a) = 0. )
  • Умножение распределяется по сложению, то есть ( a, b, c in R, ) ( a times (b + c) = (a times b) + (a times c) ) и ( (b + c) times a = (b times a) + (c times a). )

Идеал — это подмножество кольца, которое поглощает умножение на элементы из кольца и является аддитивным. Более технически, подмножество ( I ) кольца ( R ) является идеалом, если:

  • Для всех ( a, b in I, ) разность ( a - b ) принадлежит ( I. )
  • Для всех ( r in R ) и ( a in I, ) тогда ( ra ) и ( ar ) оба принадлежат ( I. )

Условие убывающей цепи

Условие убывающей цепи (DCC) является фундаментальным аспектом артиниевых колец. Это условие утверждает, что каждая убывающая цепь идеалов в кольце должна быть в конечном итоге постоянной. Проще говоря, если у нас есть последовательность идеалов:

    I_1 supseteq I_2 supseteq I_3 supseteq cdots

Существует некоторое целое число ( n ) такое, что ( I_n = I_{n+1} = I_{n+2} = cdots ). Это значит, что после определенного момента все последующие идеалы в последовательности равны.

Определение артиниевых колец

Учитывая вышеуказанные условия и концепции, артиниевое кольцо формально определяется как кольцо, удовлетворяющее условию убывающей цепи на идеалах. Другими словами, любая последовательность идеалов в кольце, образующая убывающую цепь, в конечном итоге становится стационарной.

Пример 1: Конечное кольцо

Любое конечное кольцо является артиниевым кольцом. Это связано с тем, что в конечном множестве любая строго убывающая последовательность элементов должна быть стабильной, то есть стать стабильной, поскольку есть конечное количество элементов на выбор.

        Рассмотрим кольцо ( mathbb{Z}/6mathbb{Z} ).
 Идеалы в этом кольце могут быть только: 1 = ( {0}, ) 2 = ( {0, 2, 4}, ) и 3 = ( {0, 3}. )

Любая убывающая цепь, включающая эти идеалы, должна в конечном итоге быть стационарной, поскольку никакая бесконечная убывающая последовательность невозможна. Следовательно, ( mathbb{Z}/6mathbb{Z} ) — это артиниево кольцо.

Характеристика артиниевых колец

Помимо условия убывающей цепи артиниевы кольца также проявляют другие интересные свойства и характеристики. В частности, артиниевы кольца тесно связаны с нетеровыми кольцами, которые определяются по условию возрастающей цепи на идеалах. Однако, хотя между этими концепциями есть сходства, каждая из них имеет свои собственные различия и применения в алгебре.

Артиниевы против нетеровых колец

Кольцо называется нетеровым, если каждая возрастающая цепь идеалов стабильна. Вот краткое сравнение:

  • Артиниевы кольца удовлетворяют условию убывающей цепи на идеалах, тогда как нетеровы кольца удовлетворяют условию возрастающей цепи.
  • Любое артиниевое кольцо является нетеровым, если оно коммутативно и имеет единицу.
  • Не каждое нетерово кольцо является артиниевым.

Пример 2: Кольца матриц

Рассмотрим ( R = M_n(k) ), кольцо ( n times n ) матриц над полем ( k ). Это классический пример артиниевого кольца из-за его конечной размерности над полем.

Свойства и примеры

Существуют глубокие следствия из-за структурных свойств артиниевых колец. Давайте рассмотрим некоторые из них с примерами:

Свойство 1: Нильпотентные элементы и радикалы

В артиниевом кольце радикал Джакобсона, который является пересечением всех максимальных идеалов, является нильпотентным. Нильпотентное означает, что существует некоторая степень элемента, переходящая в ноль.

Пример 3: Нильпотентный пример

В кольце ( R = mathbb{Z}/4mathbb{Z} ) элемент 2 является нильпотентным, так как ( 2^2 = 4 equiv 0 (text{mod } 4) ). Поскольку артиниевы кольца должны проявлять такое поведение, это действительный пример для демонстрации нильпотентности.

Свойство 2: Простой модуль

Если кольцо ( R ) является артиниевым, то каждый модуль над ( R ) имеет комбинационную цепь, что облегчает алгебраическое обращение с модулями. Комбинационная цепь для модуля — это конечная цепь подмодулей, где каждый фактор-модуль является простым.

Пример 4: Простой модуль

Рассмотрим артиниево кольцо ( mathbb{Z}/6mathbb{Z} ), а модуль — сам. Комбинационная серия — это просто ( 0 subset 2mathbb{Z}/6mathbb{Z} subset mathbb{Z}/6mathbb{Z} ), с простыми модулями ( 2mathbb{Z}/6mathbb{Z} approx mathbb{Z}/2mathbb{Z} ).

Применение артиниевых колец

Концепция артиниевых колец применяется в различных областях алгебры, таких как теория представлений алгебр и модулей, алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра. Вот некоторые области, где артиниевы кольца играют важную роль:

1. Алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии, специальные классы многообразий и схем могут быть описаны с помощью артиниевых колец. Эти кольца помогают понять локальные свойства и особые упрощения алгебраических многообразий.

2. Теория представлений

В теории представлений артиниевы кольца часто используются для описания колец эндоморфизмов некоторых конечномерных модулей, позволяя анализаторам изучать и решать более сложные задачи представления через эти более простые структуры.

Теорема об артиниевых кольцах

Несколько важных теорем, связанных с артиниевыми кольцами, помогают математикам понять и использовать эти структуры. Вот некоторые важные теоремы, связанные с артиниевыми кольцами:

Теорема 1: Теорема Хопкинса–Левицки

Если ( R ) одновременно является артиниевым и нетеровым, то все его конечно порожденные модули также являются артиниевыми и нетеровыми. Эта теорема устанавливает важную связь между этими двумя типами колец.

Теорема 2: Теорема Крулля–Шмидта

Эта теорема утверждает, что в артиниевом кольце любой модуль распадается единственным образом на прямую сумму неразложимых модулей, с точностью до изоморфизма и перестановки.

Заключение

Артиниевы кольца служат важной концепцией в теории колец, предоставляя конкретное понимание алгебраических структур при рассмотрении убывающих последовательностей. Их свойства и теоремы открывают путь для дальнейших исследований в алгебре, позволяя математикам изучать как теоретические, так и практические приложения.


Докторантура → 1.2.7


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (1.2.6)
Нетеровы кольца
следующая (1.3) →
Теория полей

комментарии 



Артиниевы кольца

https://www.buddymath.com/phd/1.2.7?bmal=ru