Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

Doutorado → Compreendendo Álgebra → Teoria dos anéis ↓


Anéis Artinianos


Na teoria dos anéis, um ramo da álgebra abstrata, os anéis Artinianos desempenham um papel fundamental na compreensão das estruturas algébricas ao fornecer a base para vários conceitos e teoremas algébricos. Nomeados em homenagem ao matemático austríaco Emil Artin, esses anéis são especificamente definidos por sua condição de cadeia decrescente em ideais. Antes de nos aprofundarmos em anéis Artinianos, é importante discutir brevemente alguns conceitos básicos da teoria dos anéis, como a definição de anéis, ideais e outra terminologia relevante.

Definições e conceitos básicos

Um anel é uma estrutura matemática que consiste em um conjunto equipado com duas operações binárias: adição e multiplicação. O conjunto é fechado nessas operações e obedece a certas regras. Mais precisamente, um anel ( R ) deve satisfazer o seguinte:

  • Fechamento sob adição e multiplicação.
  • A soma é associativa e comutativa.
  • A multiplicação é associativa.
  • Existe uma identidade aditiva, denotada por 0, tal que para todo ( a in R, ) ( a + 0 = a. )
  • Todo elemento ( a ) em um anel tem um inverso aditivo ( -a ) tal que ( a + (-a) = 0. )
  • A multiplicação distribui-se sobre a adição, isto é, ( a, b, c in R, ) ( a times (b + c) = (a times b) + (a times c) ) e ( (b + c) times a = (b times a) + (c times a). )

Um ideal é um subconjunto de um anel que absorve a multiplicação por elementos do anel e é aditivo. Mais tecnicamente, um subconjunto ( I ) de um anel ( R ) é um ideal se:

  • Para cada ( a, b in I, ) a diferença ( a - b ) está em ( I. )
  • Para cada ( r in R ) e ( a in I, ) então ( ra ) e ( ar ) estão ambos em ( I. )

Condição de cadeia decrescente

A condição de cadeia decrescente (DCC) é um aspecto fundamental dos anéis Artinianos. Esta condição afirma que toda cadeia decrescente de ideais em um anel deve ser eventualmente constante. Em termos simples, se tivermos uma sequência de ideais:

    I_1 supseteq I_2 supseteq I_3 supseteq cdots

Existe algum inteiro ( n ) tal que ( I_n = I_{n+1} = I_{n+2} = cdots ). Isso significa que, após certo ponto, todos os ideais subsequentes na sequência são iguais.

Definição de anéis Artinianos

Levando em consideração as condições e conceitos acima, um anel Artiniano é formalmente definido como um anel que satisfaz a condição de cadeia decrescente em ideais. Em outras palavras, qualquer sequência de ideais em um anel que forme uma cadeia decrescente eventualmente se tornará estacionária.

Exemplo 1: Anel finito

Qualquer anel finito é um anel Artiniano. Isso ocorre porque, em um conjunto finito, qualquer sequência estritamente decrescente de elementos deve se estabilizar, ou seja, deve se tornar estável porque há um número finito de elementos para escolher.

        Considere o anel ( mathbb{Z}/6mathbb{Z} ).
 Os ideais neste anel só podem ser: 1 = ( {0}, ) 2 = ( {0, 2, 4}, ) e 3 = ( {0, 3}. )

Qualquer cadeia decrescente envolvendo esses ideais deve ser eventualmente estacionária, já que nenhuma sequência decrescente infinita é possível. Portanto, ( mathbb{Z}/6mathbb{Z} ) é um anel Artiniano.

Caracterização dos anéis Artinianos

Além da condição de cadeia decrescente, os anéis Artinianos também apresentam outras propriedades e características interessantes. Em particular, os anéis Artinianos estão intimamente relacionados aos anéis Noetherianos, que são definidos pela condição de cadeia crescente em ideais. No entanto, embora haja semelhanças entre esses conceitos, cada um tem suas próprias implicações e usos distintos na álgebra.

Anéis Artinianos versus Noetherianos

Um anel é chamado de Noetheriano se toda cadeia crescente de ideais for estável. Aqui está uma breve comparação:

  • Anéis Artinianos satisfazem a condição de cadeia decrescente em ideais, enquanto anéis Noetherianos satisfazem a condição de cadeia crescente.
  • Todo anel Artiniano é Noetheriano se for comutativo e tiver unidade.
  • Nem todo anel Noetheriano é Artiniano.

Exemplo 2: Anéis de matrizes

Considere ( R = M_n(k) ), o anel de matrizes ( n times n ) sobre o campo ( k ). Este é um exemplo clássico de um anel Artiniano devido à sua dimensão finita sobre o campo.

Propriedades e exemplos

Existem algumas implicações profundas devido às propriedades estruturais dos anéis Artinianos. Vamos revisar algumas delas com exemplos:

Propriedade 1: Elementos nilpotentes e radicais

Em um anel Artiniano, o radical de Jacobson, que é a interseção de todos os ideais máximos, é nilpotente. Nilpotente significa que existe alguma potência do elemento que vai a zero.

Exemplo 3: Exemplo nilpotente

No anel ( R = mathbb{Z}/4mathbb{Z} ), o elemento 2 é nilpotente, pois ( 2^2 = 4 equiv 0 (text{mod } 4) ). Como os anéis Artinianos devem exibir esse comportamento, este é um exemplo válido para demonstrar nilpotente.

Propriedade 2: Módulo simples

Se um anel ( R ) é Artiniano, então todo módulo sobre ( R ) possui uma cadeia de combinação, tornando os módulos mais fáceis de manipular algebricamente. Uma cadeia de combinação para um módulo é uma cadeia finita de submódulos onde cada módulo quociente é simples.

Exemplo 4: Módulo simples

Considere o anel Artiniano ( mathbb{Z}/6mathbb{Z} ), e o módulo é ele mesmo. A série de combinação é simplesmente ( 0 subset 2mathbb{Z}/6mathbb{Z} subset mathbb{Z}/6mathbb{Z} ), com módulos simples ( 2mathbb{Z}/6mathbb{Z} approx mathbb{Z}/2mathbb{Z} ).

Aplicações dos anéis Artinianos

O conceito de anéis Artinianos é usado em várias áreas da álgebra, como teoria de representação de álgebras e módulos, geometria algébrica e álgebra comutativa. Aqui estão algumas áreas onde os anéis Artinianos desempenham um papel importante:

1. Geometria algébrica

Na geometria algébrica, classes específicas de varietais e esquemas podem ser descritas usando anéis Artinianos. Esses anéis ajudam a entender propriedades locais e simplificações especiais de variedades algébricas.

2. Teoria da representação

Na teoria da representação, anéis Artinianos são frequentemente usados para descrever os anéis de endomorfismos de certos módulos de dimensão finita, permitindo que os analistas estudem e enfrentem problemas de representação mais complicados através dessas estruturas mais simples.

Teorema dos anéis Artinianos

Vários teoremas importantes relacionados aos anéis Artinianos ajudam os matemáticos a entender e usar essas estruturas. Aqui estão alguns teoremas importantes relacionados aos anéis Artinianos:

Teorema 1: Teorema de Hopkins–Levitzki

Se ( R ) é tanto Artiniano quanto Noetheriano, então todos os seus módulos finitamente gerados também são Artinianos e Noetherianos. Este teorema estabelece uma conexão essencial entre esses dois tipos de anéis.

Teorema 2: Teorema de Krull–Schmidt

Este teorema afirma que em um anel Artiniano, qualquer módulo se decompõe de forma única em uma soma direta de módulos indecomponíveis, até isomorfismo e permutação.

Conclusão

Os anéis Artinianos servem como um conceito importante na teoria dos anéis, proporcionando uma compreensão concreta das estruturas algébricas ao considerar sequências decrescentes. Suas propriedades e teoremas abrem caminho para pesquisas posteriores em álgebra, permitindo que os matemáticos explorem aplicações tanto teóricas quanto práticas.


Doutorado → 1.2.7


U
username
0%
concluído em Doutorado

← Anterior (1.2.6)
Anéis noetherianos
Próximo (1.3) →
Teoria dos Campos

Comentários 



Anéis Artinianos

https://www.buddymath.com/phd/1.2.7?bmal=pt