アルティン環
環論は抽象代数学の一分野であり、アルティン環は様々な代数概念や定理の基礎を提供することで代数的構造の理解に重要な役割を果たします。オーストリアの数学者エミール・アルティンにちなんで名付けられたこれらの環は、特にイデアルに対する降鎖条件によって定義されます。アルティン環をより深く掘り下げる前に、環、イデアル、その他関連する用語の定義など、環論の基本概念について簡単に説明することが重要です。
基本的な定義と概念
環は、加法と乗法という2つの二項演算を備えた集合からなる数学的構造です。この集合はこれらの演算に対して閉じており、特定のルールを遵守します。より正確に言うと、環 ( R ) は次の条件を満たさなければなりません。
- 加法と乗法に対して閉じている。
- 和が結合的かつ可換的である。
- 乗法が結合的である。
- 加法単位元が存在し、0として表され、任意の ( a in R ) に対して ( a + 0 = a ) である。
- 任意の環の要素 ( a ) には加法逆元 ( -a ) が存在し、( a + (-a) = 0 ) である。
- 乗法は加法に対して分配的である。つまり、( a, b, c in R ) に対して、( a times (b + c) = (a times b) + (a times c) ) および ( (b + c) times a = (b times a) + (c times a) ) となる。
イデアルは、環からの要素による乗法を吸収し、加法性を持つ環の部分集合です。より技術的には、環 ( R ) の部分集合 ( I ) は次の場合にイデアルです。
- 任意の ( a, b in I ) に対して、差 ( a - b ) が ( I ) に含まれる。
- 任意の ( r in R ) および ( a in I ) に対して、( ra ) および ( ar ) が両方とも ( I ) に含まれる。
降鎖条件
降鎖条件（DCC）はアルティン環の基本的な側面です。この条件は、環の任意の降下するイデアルの鎖が最終的に一定である必要があることを示しています。簡単に言えば、以下のイデアルの列があるとします：
I_1 supseteq I_2 supseteq I_3 supseteq cdots
ある整数 ( n ) が存在し、( I_n = I_{n+1} = I_{n+2} = cdots ) となります。つまり、ある時点から、それ以降のすべてのイデアルは等しくなります。
アルティン環の定義
上記の条件と概念を考慮に入れると、アルティン環はイデアルに関する降鎖条件を満たす環として正式に定義されます。言い換えれば、降鎖を形成するイデアルの任意の列は最終的に定常化します。
例1: 有限環
任意の有限環はアルティン環です。これは有限集合において、要素が有限であるために任意の厳密に降下する要素の列は安定でなければならないからです。
環 ( mathbb{Z}/6mathbb{Z} ) を考えます。
この環のイデアルは次のものだけになりえます: 1 = ( {0}, ) 2 = ( {0, 2, 4}, ) および 3 = ( {0, 3}. )
これらのイデアルを含む任意の降鎖は、無限の降下列が不可能であるために最終的に定常化しなければなりません。したがって、( mathbb{Z}/6mathbb{Z} ) はアルティン環です。
アルティン環の特徴
降鎖条件を超えて、アルティン環は他にも興味深い特性や特徴を示します。特に、アルティン環はノエター環とも密接に関連していますが、ノエター環はイデアルに関する昇鎖条件によって定義されます。しかし、これらの概念には類似点があるものの、それぞれが代数における独自の意味と用途を持っています。
アルティン環とノエター環
環は、イデアルの任意の昇鎖が安定とされる場合にノエター環と呼ばれます。ここに簡単な比較があります：
- アルティン環はイデアルに対する降鎖条件を満たし、ノエター環は昇鎖条件を満たします。
- アルティン環が可換であり単位元を持つ場合、それはノエター環でもあります。
- すべてのノエター環がアルティン環であるとは限りません。
例2: 行列環
フィールド ( k ) 上の ( n times n ) 行列の環 ( R = M_n(k) ) を考えます。これは、その有限次元のために、アルティン環の古典的な例です。
特性と例
アルティン環の構造的特性に起因するいくつかの深い含意があります。例を挙げてそのいくつかを見てみましょう：
特性1: 冪零元と根基
アルティン環では、すべての極大イデアルの交わりであるヤコブソン根基が冪零です。冪零とは、ある要素のべき乗が0になることを意味します。
例3: 冪零の例
環 ( R = mathbb{Z}/4mathbb{Z} ) では、要素2は冪零です。なぜなら ( 2^2 = 4 equiv 0 (text{mod } 4) ) だからです。アルティン環はこの振る舞いを示さなければならないため、これは冪零を示す有効な例です。
特性2: 単純加群
環 ( R ) がアルティン環である場合、( R ) 上のすべての加群は組合せ鎖を持ち、加群を代数的に扱いやすくします。加群の組合せ鎖は、すべてのファクター加群が単純である有限鎖のことです。
例4: 単純加群
アルティン環 ( mathbb{Z}/6mathbb{Z} ) を考え、その加群がそれ自体である場合。組合せ系列は次のようなものです ( 0 subset 2mathbb{Z}/6mathbb{Z} subset mathbb{Z}/6mathbb{Z} )、単純加群 ( 2mathbb{Z}/6mathbb{Z} approx mathbb{Z}/2mathbb{Z} )。
アルティン環の応用
アルティン環の概念は、代数の様々な分野で使用されており、例えば、代数と加群の表現論や代数幾何、可換代数などで見られます。ここでは、アルティン環が重要な役割を果たすいくつかの分野を示します：
1. 代数幾何
代数幾何において、特定のクラスの多様体とスキームはアルティン環を使用して記述されます。これらの環は代数的多様体の局所的な特性や特別な単純化を理解するのに役立ちます。
2. 表現論
表現論において、アルティン環は特定の有限次元加群の自己準同型環を記述するためによく使用され、より複雑な表現問題に対処する分析者にとってこれらの単純な構造を介して学習する手段を提供します。
アルティン環に関する定理
アルティン環に関するいくつかの重要な定理は、これらの構造を理解し、利用するのに役立ちます。アルティン環に関連する重要な定理をいくつか紹介します。
定理1: ホプキンス–レビツキ定理
環 ( R ) がアルティン環かつノエター環である場合、その有限生成加群もまたアルティン環かつノエター環です。この定理はこれら二種類の環間の本質的な関係を確立しています。
定理2: クルール–シュミット定理
この定理はアルティン環において、任意の加群が分解不可能な加群の直和に一意に分解されることを、同型と順列に基づいて示しています。
結論
アルティン環は環論において重要な概念であり、降下列を考慮することで代数的構造を具体的に理解する手段を提供します。これらの性質や定理は代数のさらなる研究の道を開き、数学者が理論的および実際の応用の両方を探求することを可能にします。
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