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  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
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Anillos de Artiniano


En teoría de anillos, una rama del álgebra abstracta, los anillos de Artiniano juegan un papel clave en la comprensión de las estructuras algebraicas al proporcionar la base para varios conceptos y teoremas algebraicos. Nombrados en honor al matemático austríaco Emil Artin, estos anillos están específicamente definidos por su condición de cadena descendente en ideales. Antes de profundizar en los anillos de Artiniano, es importante discutir brevemente algunos conceptos básicos de la teoría de anillos, como la definición de anillos, ideales y otra terminología relevante.

Definiciones y conceptos básicos

Un anillo es una estructura matemática que consiste en un conjunto equipado con dos operaciones binarias: adición y multiplicación. El conjunto es cerrado bajo estas operaciones y obedece ciertas reglas. Para ser más preciso, un anillo ( R ) debe satisfacer los siguientes requisitos:

  • Cierre bajo la adición y la multiplicación.
  • La suma es asociativa y conmutativa.
  • La multiplicación es asociativa.
  • Existe una identidad aditiva, denotada por 0, tal que para todo ( a in R, ) ( a + 0 = a. )
  • Cada elemento ( a ) en un anillo tiene un inverso aditivo ( -a ) tal que ( a + (-a) = 0. )
  • La multiplicación distribuye sobre la adición, es decir, ( a, b, c in R, ) ( a times (b + c) = (a times b) + (a times c) ) y ( (b + c) times a = (b times a) + (c times a). )

Un ideal es un subconjunto de un anillo que absorbe la multiplicación por elementos del anillo y es aditivo. Más técnicamente, un subconjunto ( I ) de un anillo ( R ) es un ideal si:

  • Para todos ( a, b in I, ) la diferencia ( a - b ) está en ( I. )
  • Para todo ( r in R ) y ( a in I, ) entonces ( ra ) y ( ar ) están ambos en ( I. )

Condición de cadena descendente

La condición de cadena descendente (DCC) es un aspecto fundamental de los anillos de Artiniano. Esta condición establece que cada cadena descendente de ideales en un anillo debe ser eventualmente constante. En términos simples, si tenemos una secuencia de ideales:

    I_1 supseteq I_2 supseteq I_3 supseteq cdots

Existe algún entero ( n ) tal que ( I_n = I_{n+1} = I_{n+2} = cdots ). Esto significa que después de un cierto punto, todos los ideales subsecuentes en la secuencia son iguales.

Definición de anillos de Artiniano

Tomando en cuenta las condiciones y conceptos anteriores, un anillo de Artiniano se define formalmente como un anillo que satisface la condición de cadena descendente en ideales. En otras palabras, cualquier secuencia de ideales en un anillo que forme una cadena descendente eventualmente se volverá estacionaria.

Ejemplo 1: Anillo finito

Cualquier anillo finito es un anillo de Artiniano. Esto se debe a que en un conjunto finito, cualquier secuencia estrictamente descendente de elementos debe ser estable, es decir, debe volverse estable porque hay un número finito de elementos para elegir.

        Considera el anillo ( mathbb{Z}/6mathbb{Z} ).
 Los ideales en este anillo solo pueden ser: 1 = ( {0}, ) 2 = ( {0, 2, 4}, ) y 3 = ( {0, 3}. )

Cualquier cadena descendente que involucre estos ideales debe ser eventualmente estacionaria, ya que no es posible una secuencia descendente infinita. Por lo tanto, ( mathbb{Z}/6mathbb{Z} ) es un anillo de Artiniano.

Caracterización de los anillos de Artiniano

Además de la condición de cadena descendente, los anillos de Artiniano también exhiben algunas otras propiedades y características interesantes. En particular, los anillos de Artiniano están estrechamente relacionados con los anillos de Noether, que se definen por la condición de cadena ascendente en ideales. Sin embargo, aunque hay similitudes entre estos conceptos, cada uno tiene sus propias implicaciones y usos distintos en el álgebra.

Anillos de Artiniano versus Anillos de Noether

Un anillo se llama de Noether si cada cadena ascendente de ideales es estable. Aquí hay una breve comparación:

  • Los anillos de Artiniano satisfacen la condición de cadena descendente en ideales, mientras que los anillos de Noether satisfacen la condición de cadena ascendente.
  • Cada anillo de Artiniano es de Noether si es conmutativo y tiene unidad.
  • No todos los anillos de Noether son de Artiniano.

Ejemplo 2: Anillos de matrices

Considera ( R = M_n(k) ), el anillo de matrices ( n times n ) sobre el campo ( k ). Este es un ejemplo clásico de un anillo de Artiniano debido a su dimensión finita sobre el campo.

Propiedades y ejemplos

Existen algunas implicaciones profundas debido a las propiedades estructurales de los anillos de Artiniano. Revisemos algunas de ellas con ejemplos:

Propiedad 1: Elementos nilpotentes y radicales

En un anillo de Artiniano, el radical de Jacobson, que es la intersección de todos los ideales maximales, es nilpotente. Nilpotente significa que hay alguna potencia del elemento que se va a cero.

Ejemplo 3: Ejemplo nilpotente

En el anillo ( R = mathbb{Z}/4mathbb{Z} ), el elemento 2 es nilpotente ya que ( 2^2 = 4 equiv 0 (text{mod } 4) ). Dado que los anillos de Artiniano deben exhibir este comportamiento, este es un ejemplo válido para demostrar nilpotentes.

Propiedad 2: Módulo simple

Si un anillo ( R ) es de Artiniano, entonces cada módulo sobre ( R ) tiene una cadena de composición, haciendo que los módulos sean más fáciles de manejar algebraicamente. Una cadena de composición para un módulo es una cadena finita de submódulos donde cada módulo factor es simple.

Ejemplo 4: Módulo simple

Considera el anillo de Artiniano ( mathbb{Z}/6mathbb{Z} ), y el módulo es el mismo. La serie de composición es simplemente ( 0 subset 2mathbb{Z}/6mathbb{Z} subset mathbb{Z}/6mathbb{Z} ), con módulos simples ( 2mathbb{Z}/6mathbb{Z} approx mathbb{Z}/2mathbb{Z} ).

Aplicaciones de los anillos de Artiniano

El concepto de anillos de Artiniano se utiliza en varias áreas del álgebra, como la teoría de representaciones de álgebras y módulos, la geometría algebraica y el álgebra conmutativa. Aquí hay algunas áreas donde los anillos de Artiniano juegan un papel importante:

1. Geometría algebraica

En la geometría algebraica, clases específicas de variedades y esquemas pueden describirse usando anillos de Artiniano. Estos anillos ayudan a entender las propiedades locales y las simplificaciones especiales de las variedades algebraicas.

2. Teoría de representaciones

En la teoría de representaciones, los anillos de Artiniano se utilizan a menudo para describir los anillos de endomorfismos de ciertos módulos de dimensión finita, permitiendo a los analistas estudiar y abordar problemas de representación más complicados a través de estas estructuras más simples.

Teorema del anillo de Artiniano

Varios teoremas importantes relacionados con los anillos de Artiniano ayudan a los matemáticos a comprender y usar estas estructuras. Aquí hay algunos teoremas importantes relacionados con los anillos de Artiniano:

Teorema 1: Teorema de Hopkins–Levitzki

Si ( R ) es tanto de Artiniano como de Noether, entonces todos sus módulos finitamente generados son también de Artiniano y de Noether. Este teorema establece una conexión esencial entre estos dos tipos de anillos.

Teorema 2: El teorema de Krull–Schmidt

Este teorema establece que en un anillo de Artiniano, cualquier módulo se descompone de manera única en una suma directa de módulos indecomponibles, hasta isomorfismo y permutación.

Conclusión

Los anillos de Artiniano sirven como un concepto importante en la teoría de anillos, proporcionando una comprensión concreta de las estructuras algebraicas al considerar secuencias descendentes. Sus propiedades y teoremas allanan el camino para futuras investigaciones en álgebra, permitiendo a los matemáticos explorar tanto aplicaciones teóricas como prácticas.


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