环与理想
在代数的研究中，环论在理解各种代数系统中出现的结构特性方面发挥了重要作用。这个领域探索环（具备两个二元运算的集合）及其称为理想的特殊子集。我们在本课中的目标是以通俗易懂的方式全面介绍这些基本概念，并广泛应用。
什么是环？
环 (R, +, *) 是一种令人着迷且重要的代数结构。它配备了两个运算，我们通常称之为加法和乘法。更正式地说，环由一个集合 R 以及两种二元运算，加法 + 和乘法 * 组成，其中 (R, +) 是一个阿贝尔群，(R, *) 是一个幺半群。
让我们形式化环的定义：
R 是一个在两个二元运算 + 和 * 下封闭的集合，对于 R 中的所有 a, b 和 c： 1. (R, +) 是一个阿贝尔群。 a. a + (b + c) = (a + b) + c （加法结合律） b. 存在一个元素 0 在 R 中，对 R 中的每一个 a，有 a + 0 = a （加法恒等元素的存在） c. 对于 R 中的任意 a，存在元素 -a 使得 a + (-a) = 0 （加法逆元素的存在） d. a + b = b + a （加法交换律） 2. (R, *) 是一个半群。 a. a * (b * c) = (a * b) * c （乘法结合律） 3. 分配律： A. a * (b + c) = (a * b) + (a * c) B. (a + b) * c = (a * c) + (b * c)
示例：整数集 ℤ 配简单加法和乘法是一个环。
环不一定有乘法恒等元素或是交换的（即对于每一个 a 和 b，a * b = b * a），虽然某些类型的环确实具有这些性质。当一个环是交换的并且有一个乘法恒等元素时，我们称之为具有单位的交换环。
环结构的可视化例子
让我们通过一个简单的环 {0, 1, 2} 在模 3 加法和乘法下的例子进行说明：
加法表：
+ | 0 1 2
,
0 | 0 1 2
1 | 1 2 0
2 | 2 0 1
乘法表：
* | 0 1 2
,
0 | 0 0 0
1 | 0 1 2
2 | 0 2 1
什么是理想？
理想是环的一个特殊子群，在环论中尤其在构造商环时起重要作用。理想推广了某些数和函数的性质并将这些概念扩展到环论领域。
定义
令 R 是一个环。集合 I 是 R 的一个子集，如果它是一个左理想，则：
1. （加法闭合性）对于 I 中的任意 a, b，a + b 在 I 中。 2. （左乘吸收性）对于 R 中的任意 r 和 I 中的任意 a，r * a 在 I 中。
右理想 和 双边理想的定义类似。一个双边理想，或者简单的说一个理想，满足左右乘的吸收性质：
右理想：（加法闭合性）对于 I 中的任意 a, b，a + b 在 I 中。
（右乘吸收性）对于 R 中的任意 r 和 I 中的任意 a，a * r 在 I 中。
双重理想：（左理想）对于 R 中的任意 r 和 I 中的任意 a，r * a 在 I 中。
（右理想）对于 R 中的任意 r 和 I 中的任意 a，a * r 在 I 中。
理想的例子
考虑整数环 ℤ。ℤ 中一个重要的理想例子是所有 n 的整数倍所组成的集合，记作 (n)。对于一个特定的整数 n，此集合为：
ℤ(n) = {kn : k ∈ ℤ}
这一子集形成一个理想，因为：
- 任何两个
n的倍数之和仍然是n的倍数。 - 对于任意整数
m，m与n的倍数的积也是n的倍数。
使用理想构造商环
商环构成了在环中定义等价关系的基础。它们允许我们“除去”一个理想，从而简化环的结构。如果 I 是环 R 的一个理想，则商环 R/I 是 I 在 R 中的陪集的集合。
商环的定义
R/I 的元素形式为 a + I，其中 a 在 R 中，R/I 中的运算定义为：
(a + i) + (b + i) = (a + b) + i (a + i) * (b + i) = (a * b) + i
给定 R 中的两个元素 a 和 b，如果它们的差 a - b 在理想 I 中，则认为 a + I 和 b + I 是等价的。
商环的可视化例子
考虑整数环 ℤ 和由 3 的倍数组成的理想 (3)：
(3) = {..., -3, 0, 3, 6, 9, ...}
商环 ℤ/3ℤ 有三个等价类：
0 + (3) = {..., -3, 0, 3, 6, 9, ...}
1 + (3) = {..., -2, 1, 4, 7, 10, ...}
2 + (3) = {..., -1, 2, 5, 8, 11, ...}
以上每个类包含整数，这些整数除以 3 时得到相同的余数。
理想在环论中的重要性
理想作为环论中许多结构的基石，就像正规子群在群论中一样。它们导致了商环的发展，并有助于表征重要的环性质，如素理想和极大理想，它们分别反映了数论中的素数概念和群论中的极大子群概念。
素理想和极大理想
在一个交换环 R 中，如果一个理想 P 满足当 a * b 在 P 中时，则 a 在 P 中或 b 在 P 中，则称 P 是素理想。
极大理想定义如下：如果环 R 中的一个理想 M 没有其他的理想介于 M 和整个环 R 之间，则称 M 是极大理想。
素理想和极大理想的例子
在整数环 ℤ 中，当 p 为素数时，理想 (p) 是一个素理想（例如，(2)、(3)、(5) 等）。它也是极大理想，因为在 (p) 和 ℤ 之间没有其他的整数理想。
总结
环和理想是现代代数的大部分内容的基石。通过理解这些概念，数学家们能够深入探索定义代数系统的更深、更丰富的结构。无论是通过数系、多项式，还是更抽象的代数结构，本文描述的工具和术语为代数理论的边界打开了大门，指导着进一步数学理论和应用的发展。
因此，环论尽管抽象，却位于纯数学和应用数学的交叉点，并反映了这种数学结构固有的对称性和平衡。
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