Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Понимание алгебры ↓


Теория групп


Теория групп — это раздел математики, изучающий алгебраические структуры, известные как группы. Группы представляют собой множества, снабженные операцией, которая объединяет любые два элемента для получения третьего элемента, при этом удовлетворяя четырем основным условиям, известным как аксиомы группы: замкнутость, ассоциативность, существование единичного элемента и существование обратных элементов.

Основные определения и концепции

Давайте рассмотрим формальное определение группы. Группа — это множество (G), объединенное с операцией (*) (часто называемой умножением или сложением), которая удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. Замкнутость: Для любых двух элементов ( a ) и ( b ) из ( G ) результат операции ( a * b ) также принадлежит ( G ).
  2. Ассоциативность: Для любых трех элементов ( a, b, c ) из ( G ) верно уравнение ( (a * b) * c = a * (b * c) ).
  3. Единичный элемент: Существует элемент ( e ) в ( G ) такой, что для любого элемента ( a ) в ( G ) выполняется уравнение ( e * a = a * e = a ). Этот элемент ( e ) называется единичным элементом.
  4. Обратный элемент: Для каждого элемента ( a ) в ( G ) существует элемент ( b ) в ( G ) такой, что ( a * b = b * a = e ), где ( e ) — это единичный элемент. Элемент ( b ) называется обратным к элементу ( a ), обычно обозначается как ( a^{-1} ).

Примеры групп

Изучение конкретных множеств и операций может прояснить эти абстрактные определения. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих различные типы групп.

Целые числа под сложением

Рассмотрим множество целых чисел (mathbb{Z}) с операцией сложения ((+)).

1. Замкнутость: Для любых ( a, b in mathbb{Z} ), ( a + b ) также является целым числом.
2. Ассоциативность: Для любых ( a, b, c in mathbb{Z} ), ( (a + b) + c = a + (b + c) ).
3. Единичный элемент: Число 0 действует как единичный, потому что ( 0 + a = a + 0 = a ) для любого ( a in mathbb{Z} ).
4. Обратные элементы: У каждого целого числа ( a ) есть обратный (-a), такой что ( a + (-a) = 0 ).

Симметрическая группа

Симметрическая группа ( S_n ) — это группа всех перестановок n элементов. Операция — это композиция перестановок, а единичный элемент — это единичная перестановка, оставляющая каждый элемент на своем месте.

Пример: Для ( n=3 ) симметрическая группа ( S_3 ) содержит перестановки, такие как ( {(1), (12), (13), (23), (123), (132)} ).

Визуальный пример: круговая группа

Интуитивным примером группы является группа вращений вокруг окружности. Рассмотрим окружность, отмеченную на 0 градусов. Рассмотрим операцию как вращение на любой угол (theta). Это множество всех возможных вращений образует группу. Вот визуальное описание.

<svg width="400" height="200"> <circle cx="100" cy="100" r="80" stroke="black" stroke-width="3" fill="none" /> <line x1="100" y1="100" x2="180" y2="100" stroke="red" stroke-width="2" /><!-- 0 градусов --> <line x1="100" y1="100" x2="140" y2="60" stroke="blue" stroke-width="2" /><!-- 45 градусов --> <line x1="100" y1="100" x2="120" y2="180" stroke="green" stroke-width="2" /><!-- 135 градусов --> </svg>
<svg width="400" height="200"> <circle cx="100" cy="100" r="80" stroke="black" stroke-width="3" fill="none" /> <line x1="100" y1="100" x2="180" y2="100" stroke="red" stroke-width="2" /><!-- 0 градусов --> <line x1="100" y1="100" x2="140" y2="60" stroke="blue" stroke-width="2" /><!-- 45 градусов --> <line x1="100" y1="100" x2="120" y2="180" stroke="green" stroke-width="2" /><!-- 135 градусов --> </svg>

Свойства групп

Группы демонстрируют удивительные свойства, которые вносят вклад в их богатую структуру и функциональность в математике. Ниже мы обсудим некоторые из этих фундаментальных свойств подробно.

Порядок группы

Порядок группы — это количество элементов, которое она содержит, часто обозначается как (|G|). Если количество элементов в группе конечно, то это конечная группа. В противном случае она бесконечна.

Подгруппы

Подмножество ( H ) группы ( G ), которое также является группой с теми же операциями, что и ( G ), называется подгруппой ( G ).

Пример: В (mathbb{Z}) группа четных чисел образует подгруппу, так как она удовлетворяет всем аксиомам группы.

Циклические группы

Группа является циклической, если она может быть сгенерирована одним элементом. Это означает, что каждый элемент в группе может быть записан как степени (или кратности в аддитивной нотации) этого элемента. Если ( g ) — это генератор ( G ), то:

( g = { g^n : n in mathbb{Z} } ).

Теорема Кэли и теорема Лагранжа

Теорема Кэли

Теорема Кэли утверждает, что любая группа (G) изоморфна подгруппе симметрической группы, действующей на (G). Это означает, что, хотя группы могут различаться по элементам и операциям, они могут быть представлены через перестановки объектов, что соединяет теорию групп с геометрией и комбинаторикой.

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа играет важную роль в понимании отношений между группой и ее подгруппами. Она утверждает, что порядок любой подгруппы (H) конечной группы (G) делит порядок группы (|G|). Эта теорема полезна для анализа структуры и ограничений различных групп.

Применение теории групп

Теория групп — это не только абстрактное поле, но и используется в широком спектре дисциплин. Вот некоторые области, в которых используется теория групп:

  • Физика: Теория групп широко используется в теоретической физике, особенно в изучении симметрий в квантовой механике и физике частиц.
  • Химия: В химии теория групп помогает в изучении молекулярной симметрии и предсказании спектральных свойств.
  • Криптография: Современные криптографические системы, такие как RSA, используют свойства алгебраических групп для обеспечения безопасности передачи данных.
  • Информатика: Алгоритмы и структуры данных часто используют элементы, похожие на группы, для повышения эффективности и безопасности.

Заключение

Теория групп — это фундаментальная концепция в алгебре, которая дает представление о том, как симметрии и преобразования работают в различных математических и научных областях. Понимание групп способствует более глубокому пониманию структуры и организации во многих математических системах. Хотя ее принципы абстрактны, применения теории групп охватывают разнообразные и практические области исследования, что делает ее неоценимым инструментом как в теоретических исследованиях, так и в практическом решении задач.


Докторантура → 1.1


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (1)
Понимание алгебры
следующая (1.1.1) →
Основные свойства групп

комментарии 



Теория групп

https://www.buddymath.com/phd/1.1?bmal=ru