Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Teoria dos grupos


A teoria dos grupos é um ramo da matemática que estuda estruturas algébricas conhecidas como grupos. Grupos são conjuntos equipados com uma operação que combina quaisquer dois elementos para formar um terceiro elemento, enquanto satisfaz quatro condições principais conhecidas como axiomas de grupo: fechamento, associatividade, existência de um elemento identidade e existência de elementos inversos.

Definições e conceitos básicos

Vamos explorar a definição formal de um grupo. Um grupo é um conjunto (G) combinado com uma operação (*) (frequentemente chamada de multiplicação ou adição) que satisfaz os seguintes axiomas:

  1. Fechamento: Para cada dois elementos ( a ) e ( b ) em ( G ), o resultado da operação ( a * b ) também está em ( G ).
  2. Associatividade: Para cada três elementos ( a, b, c ) em ( G ), a equação ( (a * b) * c = a * (b * c) ) é válida.
  3. Elemento identidade: Existe um elemento ( e ) em ( G ) tal que para cada elemento ( a ) em ( G ) a equação ( e * a = a * e = a ) se mantém. Este elemento ( e ) é chamado de elemento identidade.
  4. Elemento inverso: Para cada elemento ( a ) em ( G ), existe um elemento ( b ) em ( G ) tal que ( a * b = b * a = e ), onde ( e ) é o elemento identidade. O elemento ( b ) é chamado de inverso de ( a ), geralmente denotado como ( a^{-1} ).

Exemplos de grupos

Examinar conjuntos e operações específicos pode trazer clareza a essas definições abstratas. Vamos observar alguns exemplos que ilustram diferentes tipos de grupos.

Inteiros sob adição

Considere o conjunto de inteiros (mathbb{Z}) com a operação de adição ((+)).

1. Fechamento: Para qualquer ( a, b in mathbb{Z} ), ( a + b ) também é um inteiro.
2. Associatividade: Para qualquer ( a, b, c in mathbb{Z} ), ( (a + b) + c = a + (b + c) ).
3. Elemento Identidade: O número 0 atua como uma identidade porque ( 0 + a = a + 0 = a ) para qualquer ( a in mathbb{Z} ).
4. Elementos Inversos: Todo inteiro ( a ) tem um inverso (-a) tal que ( a + (-a) = 0 ).

Grupo simétrico

O grupo simétrico ( S_n ) é o grupo de todas as permutações de ( n ) elementos. A operação é a composição de permutações, e o elemento identidade é a permutação identidade, que deixa cada elemento em sua posição original.

Exemplo: Para ( n=3 ), o grupo simétrico ( S_3 ) contém permutações como ( {(1), (12), (13), (23), (123), (132)} ).

Exemplo visual: grupo de círculo

Um exemplo intuitivo de um grupo é o grupo de rotações ao redor de um círculo. Considere um círculo marcado em 0 graus. Considere que a operação seja a rotação por qualquer ângulo (theta). Este conjunto de todas as rotações possíveis forma um grupo. Aqui está uma descrição visual.

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Propriedades dos grupos

Os grupos exibem propriedades fascinantes que contribuem para sua rica estrutura e funcionalidade na matemática. Abaixo, discutiremos algumas dessas propriedades fundamentais em profundidade.

Ordem do grupo

A ordem de um grupo é o número de elementos que ele contém, geralmente denotado como (|G|). Se o número de elementos em um grupo for finito, então ele é chamado de grupo finito. Caso contrário, é infinito.

Subgrupos

Um subconjunto ( H ) de um grupo ( G ) que também é um grupo com as mesmas operações que ( G ) é chamado de subgrupo de ( G ).

Exemplo: Em (mathbb{Z}), o grupo de inteiros pares forma um subgrupo porque satisfaz todos os axiomas do grupo.

Grupos cíclicos

Um grupo é cíclico se ele pode ser gerado por um único elemento. Isso significa que todo elemento no grupo pode ser escrito como potências (ou múltiplos na notação aditiva) deste elemento. Se ( g ) é um gerador de ( G ), então:

( g = { g^n : n in mathbb{Z} } ).

Teorema de Cayley e teorema de Lagrange

Teorema de Cayley

O teorema de Cayley afirma que todo grupo (G) é isomórfico a um subgrupo do grupo simétrico que atua sobre (G). Isso implica que, embora os grupos possam diferir em termos de elementos e operações, eles podem ser representados por meio de permutações de objetos, o que conecta a teoria dos grupos à geometria e combinatória.

Teorema de Lagrange

O teorema de Lagrange desempenha um papel importante na compreensão da relação entre um grupo e seus subgrupos. Ele afirma que a ordem de qualquer subgrupo (H) de um grupo finito (G) divide a ordem do grupo (|G|). Este teorema é útil na análise da estrutura e das restrições de vários grupos.

Aplicações da teoria dos grupos

A teoria dos grupos não é apenas um campo abstrato, mas é utilizada em uma ampla gama de disciplinas. Abaixo estão algumas das áreas onde a teoria dos grupos é usada:

  • Física: A teoria dos grupos é amplamente utilizada na física teórica, especialmente no estudo de simetrias na mecânica quântica e física de partículas.
  • Química: Na química, a teoria dos grupos auxilia no estudo da simetria molecular e ajuda a prever propriedades espectrais.
  • Criptografia: Sistemas criptográficos modernos, como RSA, utilizam as propriedades de grupos algébricos para proteger a transmissão de dados.
  • Ciência da computação: Algoritmos e estruturas de dados frequentemente utilizam características semelhantes a grupos para melhorar a eficiência e a segurança.

Conclusão

A teoria dos grupos é um conceito fundamental em álgebra que fornece insights sobre como simetrias e transformações operam em uma variedade de campos matemáticos e científicos. Compreender grupos facilita uma compreensão mais profunda da estrutura subjacente e organização em muitos sistemas matemáticos. Embora seus princípios sejam abstratos, as aplicações da teoria dos grupos abrangem campos de investigação diversificados e práticos, tornando-se uma ferramenta inestimável tanto na pesquisa teórica quanto na resolução prática de problemas.


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