Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Понимание алгебры → Теория групп ↓


Что такое групповые действия?


Групповые действия — это способ описания симметрий более структурированным образом. В области теории групп, которая является ветвью математики, занимающейся алгебраическими структурами, известными как группы, понимание того, как группы могут действовать на другие структуры, дает глубокое понимание природы групп и структур, на которые они влияют.

Понимание групп

Прежде чем погружаться в групповые действия, важно понять, что такое группа. Группа — это множество, оснащенное операцией, которая удовлетворяет четырем фундаментальным свойствам: замкнутости, ассоциативности, наличию нейтрального элемента и существованию обратного элемента.

1. Замкнутость: Для множества G с операцией *, если a и b принадлежат G, то a * b также принадлежит G. 2. Ассоциативность: Для любых a, b и c в G, (a * b) * c = a * (b * c). 3. Нейтральный элемент: Существует элемент e в G такой, что для любого элемента a в G, e * a = a * e = a. 4. Обратные элементы: Для каждого a в G существует элемент b в G такой, что a * b = b * a = e.

Что такое групповое действие?

Групповое действие — это формальный способ интерпретации элементов группы как симметрий или преобразований другого множества. Формально мы говорим, что группа G действует на множество X, если имеется функция:

G × X → X

удовлетворяющая двум свойствам:

1. Нейтральность: Для каждого элемента x в X, e * x = x, где e — нейтральный элемент G. 2. Совместимость: Для каждой пары элементов g, h из G и каждого x в X, (g * h) * x = g * (h * x).

Визуализация групповых действий

Давайте рассмотрим простой пример. Возьмем группу C3, которая представляет симметрии равностороннего треугольника. Эта группа имеет три элемента: нейтральное вращение (e), вращение на 120 градусов (r) и вращение на 240 градусов (r²).

ABC

Когда C3 действует на треугольник, каждый элемент группы изменяет позиции вершин (A, B, C) треугольника. Например:

- Нейтральное (e): (A, B, C) → (A, B, C) - Вращение на 120 градусов (r): (A, B, C) → (B, C, A) - Вращение на 240 градусов (r²): (A, B, C) → (C, A, B)

Этот пример показывает, как групповые действия позволяют говорить о симметриях (вращениях) треугольника структурированным образом с использованием группы C3.

Примеры групповых действий

Пример 1: Группа подстановок

Рассмотрим симметрическую группу S3, которая состоит из всех подстановок трех объектов. Предположим, что S3 действует на множество {1, 2, 3}.

- Нейтральный (e): (1, 2, 3) → (1, 2, 3) - Поменять первые два элемента ((1 2)): (1, 2, 3) → (2, 1, 3) - Цикл (1 2 3): (1, 2, 3) → (2, 3, 1) - Цикл (1 3 2): (1, 2, 3) → (3, 1, 2) - Поменять последние два элемента ((2 3)): (1, 2, 3) → (1, 3, 2) - Цикл (1 3): (1, 2, 3) → (3, 2, 1)

Здесь каждая подстановка множества S является групповым действием S3 на {1, 2, 3}.

Пример 2: Группа матриц

Рассмотрим группу обратимых матриц 2x2, известную как GL(2, R), которая действует на векторное пространство R². Матрица A из GL(2, R) действует на вектор v в R², умножая A на v.

Если A = [[a, b], [c, d]] и v = [x, y], тогда A • v = [[a, b], [c, d]] • [x, y] = [ax + by, cx + dy]

Свойства групповых действий

Групповые функции — это не просто абстрактные операции. Они имеют важные свойства, которые позволяют математикам исследовать глубокие связи внутри структур.

Типы групповых действий

Групповые действия могут быть классифицированы по их поведению:

- Верные: Если для любых двух различных элементов G существует точка x в X такая, что действия различаются на x. - Транзитивные: Если для любых x, y в X существует g в G такой, что g * x = y. - Свободные: Если стабилизатор каждого элемента в X тривиален (только нейтральный элемент в G фиксирует x).

Визуальный пример транзитивного действия

XYJade

В транзитивном действии можно перейти из любой точки множества в любую другую точку с помощью элемента группы.

Применение групповых действий

Понимание групповых действий важно во многих областях:

  • Кристаллография: Описание симметрий в кристаллических структурах.
  • Теория кодирования: Структурирование кодов с использованием симметрии группы для исправления ошибок.
  • Физика: Описание симметричных свойств систем и частиц.
  • Геометрия: Изучение преобразований, которые сохраняют определенные свойства фигур.

Заключение

Групповые действия формируют ключевую концепцию как в чистой, так и в прикладной математике. Они позволяют понять симметрии и преобразования структурированным образом, предоставляя глубокое понимание алгебры, геометрии и других областей. Будь то симметричные движения в танце или колебания молекул в кристалле, групповые действия предоставляют мощную линзу, через которую мы можем анализировать и прогнозировать поведение сложных систем.


Докторантура → 1.1.9


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (1.1.8)
Введение в свободные группы
следующая (1.1.10) →
Простые и разрешимые группы

комментарии 



Что такое групповые действия?

https://www.buddymath.com/phd/1.1.9?bmal=ru