Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Понимание алгебры → Теория групп ↓


Групповые гомоморфизмы


В широкой области алгебры теория групп, известная как теория групп, играет важную роль. Она предоставляет основу для изучения симметрии и ее обобщений. Одной из фундаментальных концепций в этой области является понятие изоморфизма групп.

Что такое группа?

Прежде чем углубляться в гомоморфизмы, давайте сначала поймем, что такое группа в математическом смысле. Группа — это набор элементов с бинарными операциями, удовлетворяющими четырем основным свойствам: замкнутость, ассоциативность, существование нейтрального элемента и обратимость.

  • Замкнутость: Если a и b — элементы группы G, то результат операции a * b также будет в G
  • Ассоциативность: Если a, b, c — элементы G, то (a * b) * c = a * (b * c)
  • Нейтральный элемент: существует элемент e в G такой, что e * a = a * e = a для каждого элемента a в G
  • Обратный элемент: для каждого элемента a в G существует элемент b в G такой, что a * b = b * a = e, где e — это нейтральный элемент.

Определение гомоморфизмов групп

Изоморфизм группы — это функция между двумя группами, которая сохраняет структуру группы. Рассмотрим две группы (G, *) и (H, •). Функция f: G → H является изоморфизмом, если для каждой пары элементов a, b в G выполняется следующее условие:

f(a * b) = f(a) • f(b)

Это уравнение фактически говорит нам, что функция f уважает операцию группы.

Примеры изоморфизмов групп

Пример 1: Идентичный изоморфизм

Рассмотрим любую группу (G, *). Функция id: G → G, определенная как id(a) = a для всех a в G, является гомоморфизмом. Это потому, что для любых элементов a и b в G мы имеем:

id(a * b) = a * b = id(a) * id(b)

Пример 2: Нулевой гомоморфизм

Рассмотрим изоморфизм между двумя группами (G, *) и (H, •), где e_H — нейтральный элемент H. Функция f: G → H, определенная как f(a) = e_H для всех a в G, является изоморфизмом, обычно называемым нулевым изоморфизмом.

Доказательство:

f(a * b) = e_H = e_H • e_H = f(a) • f(b)

Пример 3: Действительные числа при сложении

Рассмотрим множество действительных чисел при сложении, (ℝ, +), и множество положительных действительных чисел при умножении, (ℝ^+, ×). Логарифмическая функция log: ℝ^+ → ℝ является изоморфизмом, потому что:

log(xy) = log(x) + log(y)

Это уравнение показывает, что log преобразует операцию умножения в сложение, сохраняя структуру группы по отношению к сложению.

Визуальный пример

Чтобы понять концепцию визуально, представьте две группы, изображенные как круги с элементами внутри них. Гомоморфизм подобен стрелке, которая отображает элементы из одного круга в другой, сохраняя целостность их операций.

G A B H f(a) f(b) f

Свойства гомоморфизмов групп

Групповые гомоморфизмы обладают рядом полезных свойств, которые отражают структуру групп, которые они связывают. Ниже приведены некоторые из этих свойств:

Образ и ядро

  • Образ: Образ гомоморфизма f: G → H — это множество всех элементов h в H, для которых существует g в G, такой что f(g) = h. Он обозначается Im(f) или f(G).
  • Ядро: Ядро гомоморфизма — это множество всех элементов в G, которые совпадают с нейтральным элементом в H. Оно обозначается как Ker(f).

Гомоморфизм называется инъективным или мономорфизмом, если в его ядре содержится только нейтральный элемент G

Изоморфизм

Гомоморфизм, который инъективен и сюръективен (на), называется изоморфизмом. Две группы считаются изоморфными, если между ними существует изоморфизм. Изоморфные группы имеют одинаковые структурные свойства, хотя их элементы могут различаться.

Примеры, демонстрирующие свойства

Пример 4: Ядро гомеоморфизма

Рассмотрим изоморфизм f: ℤ → ℤ_6, определенный как f(n) = n mod 6, где ℤ — это группа целых чисел по сложению, а ℤ_6 — это группа целых чисел по модулю 6. Ядро этого изоморфизма — это группа всех целых чисел n таких, что n mod 6 = 0. Таким образом:

Ker(f) = { ..., -12, -6, 0, 6, 12, ... }

Пример 5: Изоморфные группы

Рассмотрим циклическую группу C_4, состоящую из элементов {0, 1, 2, 3} по модульному сложению 4, и другую группу H с элементами {1, i, -1, -i} по умножению (где i — это мнимая единица). Функция f: C_4 → H определяется следующим образом:

  • f(0) = 1
  • f(1) = i
  • f(2) = -1
  • f(3) = -i

Существует симметрия. Это можно проверить, проверив как симметрию, так и двойное связывание.

Значение и приложения

Групповые симметрии важны, потому что они позволяют математикам переносить структуру и свойства из одной группы в другую. Они служат мостом для сравнения и понимания различных алгебраических структур. Приложения теории групп и симметрий охватывают множество дисциплин, включая физику, криптографию и теорию музыки. В физике симметрии и законы сохранения глубоко укоренены в теории групп. В криптографии алгоритмы безопасной связи часто включают группы и симметрии. Это еще раз демонстрирует, что эти математические концепции играют важную роль за пределами абстрактной теории.

Групповые симметрии также способствуют классификации групп, идентифицируя простые группы и конструируя более сложные группы из них через расширения, работая с модулями и теорией представлений, а также понимая основные симметрии математических объектов.

Заключение

Групповые симметрии служат фундаментальными связующими звеньями между алгебраическими структурами, помогая отображать и сохранять свойства групп в различных областях. Используя комбинацию практических примеров и строгих доказательств, мы не только определили, что такое симметрия группы, но и изучили различные уровни сложностей и свойств, которые из этого вытекают. Понимание этих вкладчиков в общую структуру теории групп позволяет оценить красоту и универсальность алгебры при решении реальных задач.


Докторантура → 1.1.6


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (1.1.5)
Факторгруппа
следующая (1.1.7) →
Теорема Силова

комментарии 



Групповые гомоморфизмы

https://www.buddymath.com/phd/1.1.6?bmal=ru