Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
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  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Homomorfismos de grupos


No vasto campo da álgebra, o campo das estruturas abstratas conhecido como teoria dos grupos desempenha um papel importante. Ele fornece uma estrutura para estudar a simetria e suas generalizações. Um dos conceitos fundamentais dentro deste quadro é a noção de isomorfismo de grupos.

O que é um grupo?

Antes de mergulharmos nos homomorfismos, vamos primeiro entender o que é um grupo no sentido matemático. Um grupo é uma coleção de elementos equipados com operações binárias que satisfazem quatro propriedades fundamentais: fechamento, associatividade, identidade e invertibilidade.

  • Fechamento: Se a e b são elementos de um grupo G, então o resultado da operação a * b também estará em G
  • Associatividade: Se a, b, c são elementos de G, então (a * b) * c = a * (b * c)
  • Elemento identidade: existe um elemento e em G tal que e * a = a * e = a para todo elemento a em G
  • Elemento inverso: para todo elemento a em G, existe um elemento b em G tal que a * b = b * a = e, onde e é o elemento identidade.

Definindo homomorfismos de grupos

Um isomorfismo de grupo é uma função entre dois grupos que preserva a estrutura do grupo. Considere dois grupos (G, *) e (H, •). A função f: G → H é um isomorfismo se para todo par de elementos a, b em G, a seguinte condição é satisfeita:

f(a * b) = f(a) • f(b)

Essa equação essencialmente nos diz que a função f respeita a operação do grupo.

Exemplos de isomorfismos de grupos

Exemplo 1: Isomorfismo identidade

Considere qualquer grupo (G, *). A função id: G → G definida por id(a) = a para todo a em G é um homomorfismo. Isso ocorre porque para quaisquer elementos a e b em G, temos:

id(a * b) = a * b = id(a) * id(b)

Exemplo 2: Homomorfismo zero

Considere um isomorfismo entre dois grupos (G, *) e (H, •), onde e_H é o elemento identidade de H. A função f: G → H definida por f(a) = e_H para todo a em G é um isomorfismo, geralmente chamado de isomorfismo zero.

Evidência:

f(a * b) = e_H = e_H • e_H = f(a) • f(b)

Exemplo 3: Números reais sob adição

Considere o conjunto de números reais sob adição, (ℝ, +) e o conjunto de números reais positivos sob multiplicação, (ℝ^+, ×). A função logarítmica log: ℝ^+ → ℝ é um isomorfismo porque:

log(xy) = log(x) + log(y)

Essa equação mostra que log transforma a operação de multiplicação em adição, preservando assim a estrutura do grupo em relação à adição.

Exemplo visual

Para entender o conceito visualmente, imagine dois grupos representados como círculos com elementos dentro deles. Um homomorfismo é como uma flecha que mapeia elementos de um círculo para outro enquanto mantém a integridade de suas operações.

Sim A B H f(a) f(b) F

Propriedades dos isomorfismos de grupos

Os homomorfismos de grupo têm várias propriedades úteis que refletem a estrutura dos grupos que eles relacionam. Abaixo estão algumas dessas propriedades:

Imagem e núcleo

  • Imagem: A imagem de um homomorfismo f: G → H é o conjunto de todos os elementos h em H para os quais existe um g em G tal que f(g) = h. É denotada por Im(f) ou f(G).
  • Núcleo: O núcleo de um homomorfismo é o conjunto de todos os elementos em G que coincidem com o elemento identidade em H. É denotado por Ker(f).

Um homomorfismo é chamado de injetivo ou um monomorfismo se seu núcleo contém apenas o elemento identidade de G

Isomorfismo

Um homomorfismo que é tanto injetivo quanto sobrejetivo (sobre) é chamado de um isomorfismo. Dois grupos são considerados isomorfos se existir um isomorfismo entre eles. Grupos isomorfos compartilham as mesmas propriedades estruturais, mesmo que seus elementos possam diferir.

Exemplos que demonstram propriedades

Exemplo 4: Núcleo de um homeomorfismo

Considere o isomorfismo f: ℤ → ℤ_6 definido por f(n) = n mod 6, onde ℤ é o grupo dos inteiros sob adição, e ℤ_6 é o grupo dos inteiros módulo 6. O núcleo deste isomorfismo é o grupo de todos os inteiros n tal que n mod 6 = 0 Assim:

Ker(f) = { ..., -12, -6, 0, 6, 12, ... }

Exemplo 5: Grupos isomorfos

Considere um grupo cíclico C_4 consistindo nos elementos {0, 1, 2, 3} sob adição módulo 4, e outro grupo H com os elementos {1, i, -1, -i} sob multiplicação (onde i é a unidade imaginária). A função f: C_4 → H é definida por:

  • f(0) = 1
  • f(1) = i
  • f(2) = -1
  • f(3) = -i

Há uma simetria. Isso pode ser verificado verificando tanto a propriedade de simetria quanto a dupla ligação.

Importância e aplicações

As simetrias de grupo são importantes porque permitem que os matemáticos transfiram estrutura e propriedades de um grupo para outro. Elas servem como uma ponte para comparar e entender diferentes estruturas algébricas. As aplicações da teoria dos grupos e das simetrias abrangem muitas disciplinas, incluindo física, criptografia e teoria da música. Na física, simetrias e leis de conservação estão profundamente enraizadas na teoria dos grupos. Na criptografia, algoritmos de comunicação segura frequentemente envolvem grupos e simetrias. Isso demonstra ainda mais que esses conceitos matemáticos desempenham papéis importantes além da teoria abstrata.

As simetrias de grupo também contribuem para a classificação de grupos, identificando grupos simples e construindo grupos mais complexos a partir deles através de extensões, lidando com módulos e teoria de representação, e compreendendo as simetrias subjacentes de objetos matemáticos.

Conclusão

As simetrias de grupo servem como conectores fundamentais entre estruturas algébricas, ajudando a mapear e preservar propriedades de grupos em diferentes domínios. Através de uma combinação de exemplos práticos e provas rigorosas, não só definimos o que é uma simetria de grupo, mas também exploramos as várias camadas de complexidades e propriedades que surgem dela. Compreender esses contribuintes para a estrutura geral da teoria dos grupos permite apreciar a beleza e versatilidade da álgebra na resolução de problemas do mundo real.


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