Doutorado
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  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
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  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
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  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
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Grupo quociente


No fascinante mundo da álgebra abstrata, a teoria dos grupos desempenha um papel importante. Um conceito interessante dentro da teoria dos grupos é o do grupo quociente. Esse conceito pode parecer complicado inicialmente, mas com explicações claras, auxílios visuais e exemplos, torna-se muito mais fácil de entender.

Entendendo grupos

Antes de aprofundarmos nos grupos quocientes, é importante lembrar o que é um grupo. Em matemática, um grupo é um conjunto equipado com uma operação que combina qualquer dois de seus elementos para formar um terceiro elemento. Esta operação deve satisfazer quatro propriedades fundamentais:

  • Fechamento: Se a e b estão no grupo G, então o resultado da operação, a * b, também deve estar em G.
  • Associatividade: Para quaisquer elementos a, b, e c em G, a equação (a * b) * c = a * (b * c) deve ser válida.
  • Elemento identidade: Deve existir um elemento e em G tal que as equações e * a = a e a * e = a sejam verdadeiras para qualquer elemento a em G.
  • Elemento inverso: Para cada elemento a em G, deve existir um elemento b em G tal que a * b = e e b * a = e, onde e é o elemento identidade.

Subgrupos normais

Um conceito importante a entender antes dos grupos quocientes é o dos subgrupos normais. Um subgrupo N de um grupo G é chamado de subgrupo normal se ele for invariante sob conjugação; isto é, para cada elemento g em G, o elemento gNg-1 ainda está em N.

Em outras palavras, um subgrupo N é normal se para cada n em N e g em G, o elemento g * n * g-1 existir em N. Denotamos que N é um subgrupo normal de G usando N &lhd; G.

Exemplo de um subgrupo normal

Considere o grupo simétrico S3, que é o grupo de todas as permutações de três objetos. Ele tem seis elementos:

S3 = {(), (123), (132), (12), (13), (23)}

O subgrupo A3 = {(), (123), (132)} é um subgrupo normal de S3 já que é invariante sob conjugação por qualquer elemento de S3.

Definindo grupos quociente

Uma vez que temos um subgrupo normal N de um grupo G, podemos formar o grupo quociente G/N. O grupo quociente é o conjunto de todos os cosets à esquerda de N em G. O coset à esquerda de N em G é um grupo da forma gN = { gn | n ∈ N } onde g é um elemento em G.

A ideia principal é que as operações no grupo quociente são definidas por combinações de cosets. Dois elementos aN e bN em G/N são multiplicados da seguinte forma:

(AN) * (BN) = (AB)N

Esta operação está bem definida porque N é um subgrupo normal, o que nos permite representar unicamente os elementos do grupo.

Visualização de grupos quociente

Considere um grupo G que pode ser representado visualmente como um conjunto de pontos dentro de um círculo maior. Dentro deste círculo, há círculos menores representando subgrupos.

Agora, imagine N como um subgrupo especial nesta representação. O grupo quociente G/N pode ser pensado como colapsando todos os elementos de cada subgrupo em um único ponto. Isso cria uma estrutura simplificada que ainda reflete as propriedades do grupo.

G/N

Exemplo de um grupo quociente

Vamos voltar para o grupo simétrico S3 e seu subgrupo normal A3. O grupo quociente S3/A3 consiste em cosets à esquerda:

S3 /a3 = {a3, (12)a3, (13)a3}

Cada coset representa uma das maneiras possíveis em que a estrutura de S3 pode ser dividida, tomando A3 como um subconjunto.

Propriedades dos grupos quociente

Grupos quociente herdam várias propriedades de seu grupo pai, G. Essas propriedades retêm grande parte da estrutura do grupo pai:

  • Tamanho: A ordem do grupo quociente G/N é igual à ordem de G dividida pela ordem de N. Formalmente, | G/N | = | G | / | N |.
  • Isomorfismo: Se f: G -> H é um isomorfismo e N está no núcleo de f, então há um isomorfismo induzido de G/N para H.

Exemplo com homeomorfismos

Suponha que temos um homomorfismo de grupo de Z (os inteiros) para Z6 (o módulo de inteiro 6), definido como:

f(n) = n mod 6

O núcleo deste isomorfismo é {6k | k ∈ Z}, o que nos permite definir um grupo quociente:

{6Z}/{6Z}≅Z6

Isso mostra como os inteiros mod 6 podem ser vistos como o grupo quociente do conjunto de todos os inteiros.

Aplicação

Grupos quociente têm muitas aplicações em matemática e campos relacionados, incluindo simetria, teoria dos números e estruturas algébricas. Eles são úteis na construção de outras estruturas algébricas e no estudo de espaços topológicos e soluções de equações polinomiais.

Exemplos de aplicações

Em topologia, o grupo fundamental de um espaço pode ajudar a descrever laços no espaço até a deformação, e os grupos quociente podem ajudar a entender as relações entre esses laços.

Em física, o conceito de grupos quociente é usado no estudo de simetrias e leis de conservação, especialmente no campo da física de partículas.

Conclusão

O grupo quociente é um conceito profundo na teoria dos grupos que fornece insights sobre a estrutura e simetria de um sistema matemático. Examinando subgrupos e seus correspondentes subconjuntos, podemos inferir propriedades importantes de todo o grupo, levando a uma melhor compreensão de seu comportamento geral.


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Grupo quociente

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