商群

抽象代数学の魅力的な世界では、群論が重要な役割を果たしています。群論の中で興味深い概念の一つが商群です。この概念は最初は複雑に見えるかもしれませんが、明確な説明、視覚的な補助、例を用いることで、理解が容易になります。

群の理解

商群に深く入る前に、群とは何かを思い出すことが重要です。数学において、群とは、一対の要素を組み合わせて第三の要素を形成する演算が備わった集合のことです。この演算は4つの基本的な性質を満たさなければなりません：

• 閉包性：もしaとbが群Gの要素であるならば、演算の結果a * bもまたGに存在しなければなりません。
• 結合性：Gの任意の要素a、b、cに対して、方程式(a * b) * c = a * (b * c)が成り立つ必要があります。
• 単位元：要素eがGに存在し、任意の要素aに対して、方程式e * a = aおよびa * e = aが成り立たなければなりません。
• 逆元：Gの任意の要素aに対して、G内に要素bが存在し、a * b = eおよびb * a = eが成り立つ必要があります。ただし、eは単位元です。

正規部分群

商群を理解する前に重要な概念が正規部分群です。群Gの部分群Nが正規部分群と呼ばれるのは、それが共役で不変である場合です。つまり、Gの任意の要素gに対して、要素gNg-1が依然としてNに存在する場合です。

言い換えれば、部分群Nが正規であるのは、N内の任意のnとG内の任意のgに対して、要素g * n * g-1がNに存在する場合です。我々はNがGの正規部分群であることを示すためにN &lhd; Gを使用します。

正規部分群の例

3つの要素の全ての置換の群である対称群S3を考えてみましょう。この群は6つの要素を持ちます：

S3 = {(), (123), (132), (12), (13), (23)}

部分群A3 = {(), (123), (132)}はS3の正規部分群です。なぜなら、それはS3の任意の要素による共役で不変だからです。

商群の定義

一旦、群Gの正規部分群Nを持っていれば、商群G/Nを形成することができます。商群はGでのNの全ての左コセットの集合です。GにおけるNの左コセットはgNの形をした群です。ここでgN = { g*n | n ∈ N }、gはGの中の要素です。

主なアイデアは、商群での演算はコセットの組合せによって定義されていることです。G/N内の2つの要素aNとbNは次のように乗算されます：

(aN) * (bN) = (ab)N

この演算はNが正規部分群であるためよく定義されていて、群の要素を一意に表現することができるようにします。

商群の視覚化

グループGを、より大きな円の中に点として視覚的に表現できると考えてみてください。この円の中には部分群を表す小さな円があります。

今、Nをこの表現の中の特別な部分群として考えてみましょう。商群G/Nは、各コグループの要素を1つの点に畳み込むように考えることができます。これにより、群の特性を反映する簡略化された構造が生まれます。

商群の例

対称群S3とその正規部分群A3に戻りましょう。商群S3/A3は左コセットから成り立っています：

S3/A3 = {A3, (12)A3, (13)A3}

各コセットは、A3を部分集合とする構造がS3の仕組みをどのように分割できるかの可能な方法の1つを表しています。

商群の特性

商群はその親群Gからいくつかの特性を継承します。これらの特性は親群の構造の多くを保持します：

• サイズ：商群G/Nの順序はGの順序をNの順序で割ったものに等しいです。形式的には、|G/N| = |G| / |N| です。
• 同型性：もしf: G → Hが同型写像であり、Nがfの核にある場合、そのときG/NからHへの誘導された同型写像が存在します。

同相写像を伴う例

Z（整数）からZ6（整数6の剰余）への群準同型写像があると仮定します：

f(n) = n mod 6

この同型写像の核は{6k | k ∈ Z}であり、それにより商群を定義できます：

{6Z}/{6Z}≅Z6

これは整数のmod 6がすべての整数の商群としてどのように見られるかを示しています。

応用

商群は数学および関連分野において、対称性、数論、代数構造などを含む多くの応用があります。それらは他の代数構造を構築するのに役立ち、位相空間や多項式方程式の解を調べるのにも役立ちます。

応用の例

位相幾何学において、ある空間の基本群はその空間内のループを変形に至るまで記述するのに役立ち、商群はこれらのループ間の関係を理解するのに役立ちます。

物理学において、商群の概念は対称性および保存則の研究に使用され、特に粒子物理学の分野で重要です。

結論

商群は群論における深い概念であり、数学的システムの構造と対称性についての洞察を提供します。部分群とそれに対応するコグループを調査することで、群全体の重要な特性を推論し、その全体的な挙動をより理解することができます。

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