正规子群

群论是研究称为群的代数结构的数学分支。一个子群是包含在群中的一个群，在相同运算下自身也形成一个群。正规子群是特别有趣的类型的子群。让我们深入了解正规子群，它们的工作原理及其在群论中的重要性。

正规子群的定义

在群论中，群G的子群H称为正规子群，如果它在G的元素共轭下保持不变。这意味着对于H中的每个元素h和G中的每个g，元素ghg-1也在H中。

如果 ∀ g ∈ G 且 ∀ h ∈ H，ghg -1 ∈ H，则 H 为 G 的正规子群。

这个性质可以简要表达为：

如果N是正规子群，我们写作N ⊲ G

视觉表示

在这个插图中，大圆表示群G，其中的小圆表示子群H。如果H是正规子群，那么它在G中的位置，即使G内部发生变化也保持不变。

数学性质

正规子群有几个有趣的数学性质，使它们在群论中成为基本概念：

1. 商群

如果N是群G的正规子群，我们可以形成商群G/N。这个群的元素是G中N的陪集。陪集是使用子集划分整个群的形式，每个陪集包含在群运算下自然相关的元素。

2. 同态的核

子群N是正规子群且是群同态的核。核是映射到同态下单位元的元素集合。由于每个核都形成正规子群，因此通过分析同态可以理解正规子群。

对于同态 φ: G → G'，核为 Ker(φ) = { g ∈ G | φ(g) = e' }，其中 e' 是 G' 中的单位元。

3. 交换子群

群G的交换子群或导出子群是由所有交换子生成的子群。它总是G的正规子群。这在理解群结构中的可交换性方面很有用。导出群通常有助于构建一系列实验，以研究群的可解性。

交换子：[a, b] = aba -1 b -1

示例：整数加法

考虑整数群Z在加法下的情况。每个子群nZ（n的倍数）是正规子群。要看到这一点，请注意对于任何整数k和子群nZ，我们有：

k + nZ + (-k) = nZ

这等效于nZ，表明它在共轭下保持不变。

示例：对称群

来看对称群S3，它包含三个对象的所有排列。考虑A3，其是包含S3中所有偶排列的交替群。A3是S3的正规子群。如果g是偶排列，我们用S3中的任何h进行共轭，结果仍然是偶排列，因此在A3中。

正规子群的重要性

正规子群在理解群的结构中扮演重要角色。以下是一些关键方面：

• 因式分解：正规子群允许构建因子群，有助于简化较大群的结构。
• 群的扩展：它们在通过扩展形成新群的重要性中起作用，这些扩展从已知群中产生更复杂的群。
• 分类：群的分类通常涉及分析常见子群及其在给定群中的相互作用。

了解正规子群对于深入研究群论是必需的，并且对一系列数学主题产生影响，包括代数拓扑、几何和数论。

结论

正规子群是抽象代数中的基本概念，提供了对群的行为和结构的深入见解。通过正则性的视角，数学家可以更好地理解群运算，创建商群，最终解开构成现代群论的复杂网络。

通过深入理解这些基本构建模块，可以探索丰富且复杂的数学景观，以扎实的基础知识连接数学的各个领域为统一整体。

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