Нормальные подгруппы

Теория групп — это раздел математики, изучающий алгебраические структуры, известные как группы. Подгруппа — это группа, содержащаяся внутри группы, которая сама по себе образует группу под той же операцией. Нормальная подгруппа — это особый тип подгруппы, представляющий интерес. Давайте углубимся в понимание нормальных подгрупп, как они работают и их важность в теории групп.

Определение нормальных подгрупп

В теории групп подгруппа H группы G называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжения элементами G. Это означает, что для каждого элемента h в H и каждого g в G элемент ghg-1 также находится в H.

H является нормальной подгруппой G, если ∀ g ∈ G и ∀ h ∈ H, ghg -1 ∈ H.

Это свойство можно кратко выразить следующим образом:

Если N — нормальная подгруппа, мы пишем N ⊲ G

Визуальное представление

На этой иллюстрации большая окружность представляет группу G, а маленькая окружность внутри неё представляет подгруппу H. Если H — нормальная подгруппа, её положение в G остаётся неизменным, несмотря на любые внутренние изменения, вносимые G.

Математические свойства

Нормальные подгруппы имеют несколько интересных математических свойств, которые делают их фундаментальными в теории групп:

1. Факторгруппа

Если N — нормальная подгруппа G, мы можем образовать факторгруппу G/N. Элементы этой группы — это смежные классы N в G. Смежные классы — это форма разбиения, которая использует подмножества для деления всей группы на множества, каждое из которых содержит элементы, естественно связанные под групповой операцией.

2. Ядро гомоморфизма

Подгруппа N является нормальной и является ядром группового гомоморфизма. Ядро — это множество элементов, которые отображаются в единичный элемент под гомоморфизмом. Поскольку каждое ядро образует нормальную подгруппу, анализ гомоморфизмов — это ещё один способ понять нормальные подгруппы.

Для гомоморфизма φ: G → G', ядро Ker(φ) = { g ∈ G | φ(g) = e' }, где e' — единичный элемент в G'.

3. Коммутаторная подгруппа

Коммутаторная подгруппа, или производная подгруппа, группы G — это подгруппа, порождённая всеми коммутаторами. Она всегда является нормальной подгруппой G. Это полезно для понимания коммутативности в структуре группы. Производная группа часто помогает в построении серии экспериментов, направленных на изучение разрешимости групп.

Коммутатор: [a, b] = aba -1 b -1

Пример: Целые числа при сложении

Рассмотрим группу целых чисел Z под сложением. Каждая подгруппа nZ (кратные n) является нормальной подгруппой. Чтобы это увидеть, заметим, что для любого целого числа k и подгруппы nZ выполняется:

k + nZ + (-k) = nZ

Это эквивалентно nZ, что показывает инвариантность относительно сопряжения.

Пример: Симметрическая группа

Рассмотрим симметрическую группу S3, которая состоит из всех перестановок трёх объектов. Рассмотрим A3, которая является чередующей группой, состоящей из всех чётных перестановок в S3. A3 является нормальной подгруппой S3. Если g является чётной перестановкой и мы сопрягаем её любым h в S3, результат остаётся чётной перестановкой и, следовательно, находится в A3.

Важность нормальных подгрупп

Нормальные подгруппы играют важную роль в понимании структуры групп. Вот некоторые ключевые аспекты:

• Факторизация: Нормальные подгруппы позволяют строить факторгруппы, которые помогают упростить структуру более крупных групп.
• Расширения групп: Они важны в формировании новых групп через расширения, которые создают более сложные группы из известных групп.
• Классификация: Классификация групп часто включает анализ общих подгрупп и их взаимодействий в данной группе.

Понимание нормальных подгрупп важно для углублённого изучения теории групп и имеет значение для целого ряда математических тем, включая алгебраическую топологию, геометрию и теорию чисел.

Заключение

Нормальные подгруппы — это фундаментальная концепция в абстрактной алгебре, предоставляющая глубокое понимание поведения и структуры групп. Благодаря нормальности математики могут лучше понимать групповые операции, создавать факторгруппы и, в конечном счёте, распутывать сложную сеть, составляющую современную теорию групп.

Развивая прочное понимание этих фундаментальных строительных блоков, можно исследовать богатые и сложные математические миры с прочными базовыми знаниями, которые соединяют разрозненные области математики в единое целое.

комментарии