Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Subgrupos normais


A teoria dos grupos é um ramo da matemática que estuda estruturas algébricas conhecidas como grupos. Um subgrupo é um grupo contido dentro de um grupo que por si só forma um grupo sob a mesma operação. Um subgrupo normal é um tipo particularmente interessante de subgrupo. Vamos dar uma olhada mais aprofundada na compreensão dos subgrupos normais, como eles funcionam e sua importância na teoria dos grupos.

Definição de subgrupos normais

Na teoria dos grupos, um subgrupo H de um grupo G é chamado de subgrupo normal se for invariante sob conjugação por elementos de G. Isso significa que para cada elemento h em H e cada g em G, o elemento ghg-1 também está em H.

H é um subgrupo normal de G se ∀ g ∈ G e ∀ h ∈ H, ghg -1 ∈ H.

Esta propriedade pode ser brevemente expressa da seguinte forma:

Se N é um subgrupo normal, escrevemos N ⊲ G

Representação visual

Sim H

Nesta ilustração, o grande círculo representa o grupo G e o pequeno círculo dentro dele representa o subgrupo H. Se H é um subgrupo normal, então sua posição dentro de G permanece inalterada, apesar de qualquer alteração interna feita por G.

Propriedades matemáticas

Os subgrupos normais têm várias propriedades matemáticas interessantes que os tornam fundamentais na teoria dos grupos:

1. Grupo quociente

Se N é um subgrupo normal de G, podemos formar o grupo quociente G/N. Os elementos deste grupo são as classes laterais de N em G. As classes laterais são uma forma de partição que utiliza subconjuntos para dividir todo o grupo em conjuntos, cada um dos quais contém elementos naturalmente relacionados sob a operação do grupo.

2. Núcleo da homeomorfismo

O subgrupo N é normal e é o núcleo do homomorfismo do grupo. O núcleo é o conjunto de elementos que mapeiam para a identidade sob o homomorfismo. Como todo núcleo forma um subgrupo normal, a análise de homomorfismos é outra maneira de entender os subgrupos normais.

Para homomorfismo φ: G → G', o núcleo é Ker(φ) = { g ∈ G | φ(g) = e' }, onde e' é a identidade em G'.

3. Subgrupo comutador

O subgrupo comutador, ou subgrupo derivado, de um grupo G é o subgrupo gerado por todos os comutadores. Ele é sempre um subgrupo normal de G. Isso é útil para entender a comutatividade na estrutura do grupo. O grupo derivado frequentemente ajuda na construção de uma série de experimentos voltados para estudar a solubilidade dos grupos.

Comutador: [a, b] = aba -1 b -1

Exemplo: Inteiros sob adição

Considere o grupo de inteiros Z sob adição. Todo subgrupo nZ (múltiplos de n) é um subgrupo normal. Para ver isso, note que para qualquer inteiro k e subgrupo nZ, temos:

k + nZ + (-k) = nZ

Isso equivale a nZ, o que mostra invariância sob conjugação.

Exemplo: Grupo simétrico

Vamos olhar para o grupo simétrico S3 que consiste em todas as permutações de três objetos. Considere A3, que é um grupo alternante consistente em todas as permutações pares em S3. A3 é um subgrupo normal de S3. Se g é uma permutação par e conjugamos por qualquer h em S3, o resultado permanece uma permutação par e está, portanto, dentro de A3.

Importância dos subgrupos normais

Subgrupos normais desempenham um papel importante na compreensão da estrutura dos grupos. Aqui estão alguns aspectos chave:

  • Fatoração: Subgrupos normais permitem a construção de grupos fator, que são úteis na simplificação da estrutura de grupos maiores.
  • Extensões de grupos: Eles são importantes na formação de novos grupos por meio de extensões, que produzem grupos mais complexos a partir de grupos conhecidos.
  • Classificação: A classificação de grupos frequentemente envolve a análise de subgrupos comuns e suas interações dentro de um dado grupo.

Compreender subgrupos normais é essencial para um estudo aprofundado da teoria dos grupos e tem implicações para uma gama de tópicos matemáticos, incluindo topologia algébrica, geometria e teoria dos números.

Conclusão

Subgrupos normais são um conceito fundamental em álgebra abstrata, proporcionando uma visão profunda sobre o comportamento e a estrutura dos grupos. Através da lente da normalidade, os matemáticos podem compreender melhor operações de grupos, criar grupos quociente e, em última análise, desvendar a complexa teia que compõe a teoria dos grupos moderna.

Ao desenvolver uma compreensão sólida desses blocos de construção fundamentais, pode-se explorar paisagens matemáticas ricas e complexas com um conhecimento fundamental sólido que conecta áreas díspares da matemática em um todo unificado.


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