Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

Doctorado → Comprendiendo el Álgebra → Teoría de grupos ↓


Subgrupos normales


La teoría de grupos es una rama de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. Un subgrupo es un grupo contenido dentro de un grupo que a su vez forma un grupo bajo la misma operación. Un subgrupo normal es un tipo particularmente interesante de subgrupo. Veamos más a fondo para entender los subgrupos normales, cómo funcionan y su importancia en la teoría de grupos.

Definición de subgrupos normales

En teoría de grupos, un subgrupo H de un grupo G se llama subgrupo normal si es invariante bajo conjugación por elementos de G. Esto significa que para cada elemento h en H y cada g en G, el elemento ghg-1 también está en H.

H es un subgrupo normal de G si ∀ g ∈ G y ∀ h ∈ H, ghg -1 ∈ H.

Esta propiedad puede expresarse brevemente de la siguiente manera:

Si N es un subgrupo normal, escribimos N ⊲ G

Representación visual

Yes H

En esta ilustración, el círculo grande representa el grupo G, y el círculo pequeño dentro de él representa el subgrupo H. Si H es un subgrupo normal, entonces su posición dentro de G permanece sin cambios a pesar de cualquier cambio interno realizado por G.

Propiedades matemáticas

Los subgrupos normales tienen varias propiedades matemáticas interesantes que los hacen fundamentales en la teoría de grupos:

1. Grupo cociente

Si N es un subgrupo normal de G, podemos formar el grupo cociente G/N. Los elementos de este grupo son las clases laterales de N en G. Las clases laterales son una forma de partición que utiliza subconjuntos para dividir todo el grupo en conjuntos, cada uno de los cuales contiene elementos relacionados naturalmente bajo la operación del grupo.

2. Núcleo de homomorfismo

El subgrupo N es normal y es el núcleo del homomorfismo de grupos. El núcleo es el conjunto de elementos que se mapean a la identidad bajo el homomorfismo. Dado que cada núcleo forma un subgrupo normal, el análisis de los homomorfismos es otra forma de entender los subgrupos normales.

Para el homomorfismo φ: G → G', el núcleo es Ker(φ) = { g ∈ G | φ(g) = e' }, donde e' es la identidad en G'.

3. Subgrupo conmutador

El subgrupo conmutador, o subgrupo derivado, de un grupo G es el subgrupo generado por todos los conmutadores. Siempre es un subgrupo normal de G. Esto es útil para entender la conmutatividad en la estructura del grupo. El grupo derivado a menudo ayuda en la construcción de una serie de experimentos destinados a estudiar la resolubilidad de los grupos.

Conmutador: [a, b] = aba -1 b -1

Ejemplo: Enteros bajo suma

Consideremos el grupo de enteros Z bajo suma. Cada subgrupo nZ (múltiplos de n) es un subgrupo normal. Para ver esto, observe que para cualquier entero k y subgrupo nZ, tenemos:

k + nZ + (-k) = nZ

Esto es equivalente a nZ, lo que muestra la invarianza bajo conjugación.

Ejemplo: Grupo simétrico

Veamos el grupo simétrico S3 que consiste en todas las permutaciones de tres objetos. Considere A3, que es un grupo alternante que consiste en todas las permutaciones pares en S3. A3 es un subgrupo normal de S3. Si g es una permutación par y conjugamos por cualquier h en S3, el resultado sigue siendo una permutación par y, por lo tanto, está dentro de A3.

Importancia de los subgrupos normales

Los subgrupos normales juegan un papel importante en la comprensión de la estructura de los grupos. Aquí hay algunos aspectos clave:

  • Factorización: Los subgrupos normales permiten la construcción de grupos cociente, que son útiles para simplificar la estructura de grupos más grandes.
  • Extensiones de grupos: Son importantes en la formación de nuevos grupos a través de extensiones, que producen grupos más complejos a partir de grupos conocidos.
  • Clasificación: La clasificación de grupos a menudo implica el análisis de subgrupos comunes y sus interacciones dentro de un grupo dado.

Entender los subgrupos normales es esencial para un estudio en profundidad de la teoría de grupos y tiene implicaciones para una serie de temas matemáticos, incluyendo topología algebraica, geometría y teoría de números.

Conclusión

Los subgrupos normales son un concepto fundamental en el álgebra abstracta, proporcionando una visión profunda sobre el comportamiento y la estructura de los grupos. A través de la óptica de la normalidad, los matemáticos pueden entender mejor las operaciones de los grupos, crear grupos cocientes y, en última instancia, desentrañar la compleja red que compone la teoría de grupos moderna.

Al desarrollar una comprensión sólida de estos bloques fundamentales, uno puede explorar paisajes matemáticos ricos y complejos con un conocimiento básico sólido que conecta áreas dispares de las matemáticas en un todo unificado.


Doctorado → 1.1.4


U
username
0%
completado en Doctorado

← Anterior (1.1.3)
Cosets y el teorema de Lagrange
Siguiente (1.1.5) →
Grupo cociente

Comentarios 



Subgrupos normales

https://www.buddymath.com/phd/1.1.4?bmal=es