陪集和拉格朗日定理

群论是代数学的一个分支，研究称为群的代数结构。群论中的基本概念之一是陪集和拉格朗日定理。这些概念对于理解群及其子群的结构非常重要。

理解群和子群

群G是一个集合，配备有一个二元运算（通常称为乘法），满足某些公理：闭合性、结合性、单位元的存在性和逆元的存在性。从数学上讲，如果g, h是G的元素，那么：

1. 封闭性: ( g cdot h in G )
2. 结合性: ( (g cdot h) cdot k = g cdot (h cdot k) )
3. 单位元: 存在一个元素 ( e in G ) 使得 ( g cdot e = e cdot g = g )
4. 逆元: 对于每一个 ( g in G ) 存在一个元素 ( g^{-1} in G ) 使得 ( g cdot g^{-1} = g^{-1} cdot g = e )

子群H是群G的一个子集，它自身在G上定义的运算下也是一个群

什么是陪集？

在群的背景下，陪集是通过一个固定的群元素对群的所有元素进行乘法（或者在加法群中进行加法）而形成的子群。具体来说，如果H是G的一个子群，g是G的一个元素，那么关于g的H的左陪集是：

( gH = { g cdot h mid h in H } )

类似的，关于g的H的右陪集是：

( HG = { H cdot G mid H in H } )

使用一个简单的SVG示例来可视化这一点。假设( o )是单位元素，H是包含元素( { o, a, b } )的子群。如果g是来自G的元素，但不在H中，且我们将H中的每个元素与g相乘，则我们生成了一组新的元素：

这里，gH = { g cdot o, g cdot a, g cdot b }在G中创建了一个新的集合，表示H的左陪集由g生成。

陪集的性质

陪集的一个有趣方面是它们将群划分为等大小的不相交子集。以下是一些基本性质：

群G中子群H的陪集要么相等，要么不相交。
子群H的所有陪集的基数（大小）相同，等于H的基数。

让我们通过一个文本示例来理解这个性质：

对于群G = { e, a, b, c }和一个子群H = { e, a }，计算左陪集：

eH = { e cdot e, e cdot a } = { e, a }
bH = { b cdot e, b cdot a } = { b, c }
cH = { c cdot e, c cdot a } = { c, b }

注意到bH和cH结果是相同的集合，显示这些两个陪集是相等的。此外，G的每个元素只属于一个陪集，这说明了陪集是如何划分群的。

拉格朗日定理

拉格朗日定理是群理论中的一个基本结果，为群与其子群之间的关系提供了见解。它声明：

如果G是一个有限群，H是G的一个子群，那么H的阶（元素的数量）整除G的阶

数学上表达为：

|g| = n times |h|

其中|G|是群的阶，|H|是子群的阶，n是H在G中的不同陪集数量（也称为H在G中的指数）。

拉格朗日定理的例子

考虑对称群S_3，它由一个三元素集合的所有可能排列组成。它有以下元素：

S_3 = {e, (12), (13), (23), (123), (132) }

S_3的阶为6。我们取H = { e, (12) }作为S_3的一个子群：

|h| = 2

根据拉格朗日定理，H的陪集必须划分S_3。可以计算出可能的陪集如下：

eH = { e cdot e, e cdot (12) } = { e, (12) }
(13)H = { (13) cdot E, (13) cdot (12) } = { (13), (132) }
(23)H = { (23) cdot E, (23) cdot (12) } = { (23), (123) }

三个陪集eH, (13)H,和(23)H显然是不同的，涵盖了S_3的所有元素，这证明了拉格朗日定理的真实性。