Классы смежности и теорема Лагранжа

Теория групп — это раздел алгебры, изучающий алгебраические структуры, известные как группы. Одной из фундаментальных концепций в теории групп является класс смежности и теорема Лагранжа. Эти концепции важны для понимания структуры групп и их подгрупп.

Понимание групп и подгрупп

Группа G — это множество, оснащенное бинарной операцией (часто называемой умножением), которое удовлетворяет определенным аксиомам: замкнутость, ассоциативность, существование единичного элемента и существование обратных элементов. Математически, если g, h являются элементами G, то:

1. Замкнутость: ( g cdot h in G )
2. Ассоциативность: ( (g cdot h) cdot k = g cdot (h cdot k) )
3. Единичный элемент: существует элемент ( e in G ) такой, что ( g cdot e = e cdot g = g )
4. Обратный элемент: для каждого ( g in G ) существует элемент ( g^{-1} in G ) такой, что ( g cdot g^{-1} = g^{-1} cdot g = e )

Подгруппа H группы G — это подмножество G, которое само по себе является группой относительно операции, определенной на G

Что такое классы смежности?

В контексте групп класс смежности представляет собой подгруппу, образованную путем умножения (или сложения, в случае аддитивных групп) всех элементов группы на фиксированный элемент группы. В частности, если H является подгруппой G, и g является элементом G, то левый класс смежности H относительно g имеет вид:

( gH = { g cdot h mid h in H } )

Аналогично, правый класс смежности H относительно g имеет вид:

( HG = { H cdot G mid H in H } )

Визуализируем это на простом примере SVG. Скажем, ( o ) — единичный элемент, а H — это подгруппа, содержащая элементы ( { o, a, b } ). Если g является элементом из G, который не входит в H, и мы умножаем каждый элемент в H на g, то мы генерируем новый набор элементов:

Здесь gH = { g cdot o, g cdot a, g cdot b } создает новый набор в G, который обозначает левый класс смежности H относительно g.

Свойства классов смежности

Интересным аспектом классов смежности является то, что они разбивают группу на непересекающиеся подгруппы равного размера. Ниже приведены некоторые основные свойства:

• Классы смежности подгруппы H в G либо равны, либо не пересекаются.
• Все классы смежности подгруппы H имеют одинаковую мощность (размер), равную мощности H

Поймем это свойство на текстовом примере:

Для группы G = { e, a, b, c } и подгруппы H = { e, a }, вычислите левый класс смежности:

eH = { e cdot e, e cdot a } = { e, a }
bH = { b cdot e, b cdot a } = { b, c }
cH = { c cdot e, c cdot a } = { c, b }

Обратите внимание, что bH и cH приводят к одному и тому же множеству, что показывает, что эти два класса смежности равны. Кроме того, каждый элемент G принадлежит ровно одному классу смежности, что показывает, как классы смежности формируют разбиение группы.

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа является фундаментальным результатом теории групп, предоставляющим представление о взаимосвязи между группой и ее подгруппами. Она говорит:

Если G — конечная группа и H является подгруппой G, то порядок (количество элементов) H делит порядок G

Выражается в математической форме:

|g| = n times |h|

где |G| — порядок группы, |H| — порядок подгруппы, и n — количество различных классов смежности H в G (также называемое индексом H в G).

Пример теоремы Лагранжа

Рассмотрим симметрическую группу S_3, которая состоит из всех возможных перестановок множества из трех элементов. Она имеет следующие элементы:

S_3 = {e, (12), (13), (23), (123), (132) }

Порядок S_3 равен 6. Возьмем H = { e, (12) } как подгруппу S_3:

|h| = 2

Согласно теореме Лагранжа, классы смежности H должны разбивать S_3. Возможные классы смежности можно вычислить следующим образом:

eH = { e cdot e, e cdot (12) } = { e, (12) }
(13)H = { (13) cdot E, (13) cdot (12) } = { (13), (132) }
(23)H = { (23) cdot E, (23) cdot (12) } = { (23), (123) }

Три класса смежности eH, (13)H, и (23)H явно различны и охватывают все элементы S_3, что показывает истинность теоремы Лагранжа.

Заключение

Концепции классов смежности и теоремы Лагранжа играют важную роль в понимании структуры групп в алгебре. Классы смежности предоставляют способ деления групп на однообразные и структурированные подгруппы, а теорема Лагранжа предоставляет мощный инструмент для анализа взаимосвязи между группой и ее подгруппами. Эти идеи основывают более сложные темы в алгебре и имеют широкие применения в физике, криптографии и других областях.

комментарии