コセットとラグランジュの定理

群論は、群として知られる代数的構造を研究する代数学の一分野です。群論の基本的な概念の一つにコセットとラグランジュの定理があります。これらの概念は、群とその部分群の構造を理解するために重要です。

群と部分群の理解

群 G は、2項演算（しばしば乗算と呼ばれる）を備えている集合で、特定の公理を満たします：閉包、結合律、単位元の存在、逆元の存在。数学的に、もしg, hがGの要素であれば、次のようになります：

1. 完全性: ( g cdot h in G )
2. 結合律: ( (g cdot h) cdot k = g cdot (h cdot k) )
3. 単位元: ( e in G ) なる要素が存在し、( g cdot e = e cdot g = g )
4. 逆元: 任意の ( g in G ) に対して、( g^{-1} in G ) なる要素が存在し、( g cdot g^{-1} = g^{-1} cdot g = e )

部分群 H は、Gで定義された演算の下で群自体であるGの部分集合です。

コセットとは？

群の文脈において、コセットは、群のすべての要素を群の固定要素で掛け算（または加法群の場合は加算）することによって形成された部分群です。具体的に、HがGの部分群で、gがGの要素である場合、gに関してHの左コセットは次のようになる：

( gH = { g cdot h mid h in H } )

同様に、gに関してHの右コセットは次のようになります：

( HG = { H cdot G mid H in H } )

単純なSVGの例でこれを視覚化してみましょう。例えば、( o ) が単位元で、Hが要素 ( { o, a, b } ) を含む部分群であるとすると、gがHにはないGの要素であり、gでHの各要素を掛け算をすることにより新しい要素の集合を生成します：

ここで、gH = { g cdot o, g cdot a, g cdot b }はG内でgによってHの左コセットを示す新しい集合を作成します。

コセットのプロパティ

コセットの興味深い側面は、グループを同じサイズの互いに素な部分グループに分割することです。以下はいくつかの基本的なプロパティです：

• G内の部分群Hのコセットは、等しいか互いに素かです。
• 任意の部分群HのコセットはHの濃度（サイズ）と等しい濃度を持ちます。

このプロパティをテキストの例で理解しましょう：

群G = { e, a, b, c }と部分群H = { e, a }の場合、左コセットを計算します：

eH = { e cdot e, e cdot a } = { e, a }
bH = { b cdot e, b cdot a } = { b, c }
cH = { c cdot e, c cdot a } = { c, b }

bHとcHは同じ集合になることに注目してください。これにより、これら2つのコセットが等しいことが示されています。そして、Gのすべての要素は正確に1つのコセットに属し、コセットが群の分割を生成することを示しています。

ラグランジュの定理

ラグランジュの定理は、群とその部分群との関係について洞察を提供する群論の基本的な結果です。それは以下のように述べています：

Gが有限群でHがGの部分群である場合、Hの順序（要素の数）はGの順序を割り切ります。

数学的に表現すると：

|g| = n times |h|

ここで|G|は群の順序、|H|は部分群の順序、nはG内のHの異なるコセットの数（HのGにおける指数とも呼ばれる）です。

ラグランジュの定理の例

3つの要素からなるセットのすべての順列からなる対称群S_3を考えます。それには以下の要素があります：

S_3 = {e, (12), (13), (23), (123), (132) }

S_3の順序は6です。H = { e, (12) }をS_3の部分群としましょう：

|h| = 2

ラグランジュの定理によると、HのコセットはS_3を分割しなければなりません。可能なコセットは次のように計算できます：

eH = { e cdot e, e cdot (12) } = { e, (12) }
(13)H = { (13) cdot E, (13) cdot (12) } = { (13), (132) }
(23)H = { (23) cdot E, (23) cdot (12) } = { (23), (123) }

3つのコセットeH, (13)H, と(23)Hは明らかに異なっており、S_3のすべての要素を網羅しており、ラグランジュの定理の真実を示しています。

結論

コセットとラグランジュの定理の概念は、代数学における群の構造を理解する重要な役割を果たします。コセットは群を均一かつ構造化された部分群に分ける方法を提供し、ラグランジュの定理は群とその部分群の間の関係を分析するための強力なツールを提供します。これらの考え方は、代数学のより高度なトピックの基礎を提供し、物理学、暗号学、および他の分野で広範な応用があります。

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