Cosets y el teorema de Lagrange

La teoría de grupos es una rama del álgebra que estudia estructuras algebraicas conocidas como grupos. Uno de los conceptos fundamentales dentro de la teoría de grupos es el coset y el teorema de Lagrange. Estos conceptos son importantes para entender la estructura de los grupos y sus subgrupos.

Entendiendo grupos y subgrupos

Un grupo G es un conjunto equipado con una operación binaria (a menudo llamada multiplicación) que satisface ciertos axiomas: cierre, asociatividad, la existencia de un elemento identidad y la existencia de elementos inversos. Matemáticamente, si g, h son elementos de G, entonces:

1. Completitud: ( g cdot h in G )
2. Asociativa: ( (g cdot h) cdot k = g cdot (h cdot k) )
3. Identidad: Existe un elemento ( e in G ) tal que ( g cdot e = e cdot g = g )
4. Inversa: Para cada ( g in G ) existe un elemento ( g^{-1} in G ) tal que ( g cdot g^{-1} = g^{-1} cdot g = e )

Un subgrupo H de un grupo G es un subconjunto de G que es un grupo en sí mismo bajo una operación definida en G

¿Qué son los cosets?

En el contexto de los grupos, un coset es un subgrupo formado multiplicando (o sumando, en el caso de grupos aditivos) todos los elementos de un grupo por un elemento fijo del grupo. Específicamente, si H es un subgrupo de G, y g es un elemento de G, entonces el coset izquierdo de H con respecto a g es:

( gH = { g cdot h mid h in H } )

De manera similar, el coset derecho de H con respecto a g es:

( HG = { H cdot G mid H in H } )

Visualiza esto con un simple ejemplo en SVG. Supongamos que ( o ) es el elemento identidad, y H es un subgrupo que contiene los elementos ( { o, a, b } ). Si g es un elemento de G que no está en H, y multiplicamos cada elemento de H por g, generamos un nuevo conjunto de elementos:

Aquí, gH = { g cdot o, g cdot a, g cdot b } crea un nuevo conjunto en G que denota el coset izquierdo de H por g.

Propiedades de los cosets

Un aspecto interesante de los cosets es que dividen el grupo en subconjuntos disjuntos de igual tamaño. A continuación se presentan algunas propiedades fundamentales:

• Los cosets de un subgrupo H en G son iguales o disjuntos.
• Todos los cosets de un subgrupo H tienen la misma cardinalidad (tamaño), que es igual a la cardinalidad de H

Comprendamos esta propiedad con un ejemplo textual:

Para un grupo G = { e, a, b, c } y un subgrupo H = { e, a }, calcula el coset izquierdo:

eH = { e cdot e, e cdot a } = { e, a }
bH = { b cdot e, b cdot a } = { b, c }
cH = { c cdot e, c cdot a } = { c, b }

Note que bH y cH resultan en el mismo conjunto, lo que muestra que estos dos cosets son iguales. Además, cada elemento de G pertenece exactamente a un coset, lo que muestra cómo los cosets forman una partición del grupo.

El teorema de Lagrange

El teorema de Lagrange es un resultado fundamental en la teoría de grupos, que proporciona una visión sobre la relación entre un grupo y sus subgrupos. Indica:

Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G, entonces el orden (número de elementos) de H divide el orden de G

Expresado matemáticamente:

|g| = n times |h|

donde |G| es el orden del grupo, |H| es el orden del subgrupo y n es el número de cosets distintos de H en G (también llamado el índice de H en G).

Ejemplo del teorema de Lagrange

Considera el grupo simétrico S_3, que consiste en todas las posibles permutaciones de un conjunto de tres elementos. Tiene los siguientes elementos:

S_3 = {e, (12), (13), (23), (123), (132) }

El orden de S_3 es 6. Tomemos H = { e, (12) } como un subgrupo de S_3:

|h| = 2

Según el teorema de Lagrange, los cosets de H deben dividir S_3. Los posibles cosets se pueden calcular de la siguiente manera:

eH = { e cdot e, e cdot (12) } = { e, (12) }
(13)H = { (13) cdot E, (13) cdot (12) } = { (13), (132) }
(23)H = { (23) cdot E, (23) cdot (12) } = { (23), (123) }

Los tres cosets eH, (13)H, y (23)H son claramente distintos y cubren todos los elementos de S_3, lo que muestra la verdad del teorema de Lagrange.

Conclusión

Los conceptos de cosets y el teorema de Lagrange juegan un papel importante en la comprensión de la estructura de los grupos en el álgebra. Los cosets proporcionan una forma de dividir los grupos en subconjuntos uniformes y estructurados, y el teorema de Lagrange proporciona una poderosa herramienta para analizar la relación entre un grupo y sus subgrupos. Estas ideas proporcionan la base para temas más avanzados en álgebra y tienen amplias aplicaciones en física, criptografía y otros campos.

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