部分群

数学の広大な分野、特に群論と呼ばれる領域において、部分群の概念は基礎的な役割を果たします。部分群は群論の構成要素であり、群の内部構造や性質に関する情報を提供します。部分群を理解することは、純粋数学だけでなく、物理学、化学、コンピュータ科学の応用にも重要です。

群の紹介

部分群の具体的な説明に入る前に、群とは何かを明確に理解することが重要です。群とは、要素の集合と、任意の2つの要素を組み合わせて群内の第3の要素を形成する演算によって定義される数学的対象です。群は4つの重要な性質を満たさなければなりません:

• 閉包性: 群の任意の要素aとbに対して、その演算結果a * bも群に属する。
• 結合法則: 群の任意の要素a、b、cに対して、(a * b) * c = a * (b * c)
• 単位元: 群に要素eが存在し、群の任意の要素aに対して、a * e = e * a = aとなる。
• 逆元: 群の任意の要素aに対して、eが単位元である場合、a * b = b * a = eを満たす要素bが存在する。

部分群とは何か？

部分群とは、大きな群の中に存在する小さな群です。正式には、群Gの部分群Hが部分群と呼ばれるのは、H自体がGで定義された演算の下で群を形成する場合です。HがGの部分群となるためには、次の3つの条件を満たす必要があります:

• 非空: Hは非空、すなわち少なくとも1つの要素を持っています。
• 閉包性: 任意のa、bがHに属するとき、積a * bもHに属する。
• 逆元: Hの任意の要素aに対して、a-1と表記されるaの逆元もHに属しています。

これらの条件が満たされるとき、HはGの部分群であり、H ≤ Gと書きます。

簡単な例で部分群を示す

次に、一部の視覚的な例を見て、部分群の概念をより容易に理解しましょう。

例1: 整数の部分群

加法の下で整数の群(mathbb{Z}, +)を考えます。この群の単純な部分群は偶数の群2mathbb{Z}であり、nが整数であるすべての形の数で構成されています。

(2mathbb{Z}, +)

図的には、整数を長い数直線として見ることができ、赤い点が偶数を示しています:

赤い点は偶数の部分群の要素を示し、整数の大きな群の部分集合を明らかに形成しています。

例2: 正方形の対称群

正方形の対称性を考えてみましょう。正方形の対称性はD_4によって表される群を形成します。この群は以下の要素から成ります:

• 恒等 (変化なし)
• 最大90度までの回転
• 180度の回転
• 最大270度までの回転
• 垂直軸上の反転
• 水平軸上の反転
• 斜め軸上の反転 (2つのオプション)

D_4内の可能な部分群は、反転操作を含まない回転だけとなることがあります。この部分群自身が群である理由は以下の通りです:

• それには恒等操作が含まれており、すべての要素が組み合わせのもとで閉じている (2つの回転の組み合わせは別の回転を生じます)。
• すべての回転操作には逆が存在する (例えば、時計回りに90度回転すると270度時計回りに回転することで元に戻ることができます)。

部分群の定理と性質

部分群には、さらなる探求と理解のためのツールとして役立つ多くの重要な性質と定理があります。

ラグランジュの定理

ラグランジュの定理は、部分群のサイズを全体のグループのサイズと関連付ける群論の基本的な結果です。これは次のように述べています:

|G| = [G : H] * |H|

ここで、|G|は群Gの位数 (要素の数) を示し、HはGの部分群であり、[G : H]はGにおけるHの指数を示し、GにおけるHの異なる左剰余類の数を示します。

正規化器と中心化器

部分群に関連する2つの構造である正規化器と中心化器は、他のグループ要素に対する部分群を理解する手段を提供します:

• 正規化器はHを正規化するGのすべての要素の集合であり、N_G(H) = { g ∈ G | gHg -1 = H }で表されます。
• 中心化器は、G内の要素aと可換なすべての要素の集合であり、C_G(a) = { g ∈ G | ga = ag }で表されます。

テキストを使った簡単な例

部分群の理解を深化させるために、いくつかの簡単なテキストベースの例を見てみましょう。

例1: 置換の部分群

3つのオブジェクトのすべての置換からなる置換群S3を考えます。この群は次の要素で構成されます:

• e
• 置換(12) (要素1と2を入れ替える)
• 置換(13) (要素1と3を入れ替える)
• 置換(23) (要素2と3を入れ替える)
• 置換(123) (要素1、2、3を回転する)
• 置換(132) (要素1、3、2を回転する)

S3の部分群は、集合{e, (123), (132)}とすることができます。この部分群は部分群を形成する条件を満たしています:

• 閉包性: 2つの要素 (例えば(123)の後に(123)) の合成は集合の要素となります。
• 逆元: すべての要素には対応する逆元が集合内にあります (例えば、(123)の逆元は(132)です)。

例2: 循環群の部分群

6の加法の下で整数モジュロを含む循環群Z6を考えます。この群の部分群はZ3であり{0, 3}からなります。

• 閉包性: 部分群の任意の2要素を加えると、部分群の別の要素を得ます。
• 逆元: すべての要素には、部分群内に同等の負の要素も存在します。

結論

部分群は群論において重要です。なぜなら、それらは複雑な群を単純な構成要素に分解することを可能にし、群の構造と対称性の深い理解を提供します。視覚的またはテキストの形式で、部分群を識別し分析することは、純粋数学だけでなく、対称性と構造が重要である様々な応用分野においても重要な洞察を提供します。

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