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उपसमूह
गणित के विशाल क्षेत्र में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत के रूप में जाने जाने वाले क्षेत्र में, उपसमूह की अवधारणा एक मौलिक भूमिका निभाती है। उपसमूह समूह सिद्धांत के निर्माण खंड होते हैं, जो समूहों की आंतरिक संरचना और गुणों के बारे में जानकारी प्रदान करते हैं। उपसमूहों को समझना न केवल शुद्ध गणित के लिए बल्कि भौतिकी, रसायन शास्त्र और कंप्यूटर विज्ञान में अनुप्रयोगों के लिए भी महत्वपूर्ण है।
समूह का परिचय
उपसमूहों के विशेष विवरण में जाने से पहले, समूहों क्या होते हैं, यह स्पष्ट रूप से समझना महत्वपूर्ण है। एक समूह एक गणितीय वस्तु है जिसे तत्वों के एक समूह द्वारा परिभाषित किया जाता है, साथ ही एक ऑपरेशन जो किसी भी दो तत्वों को जोड़ता है ताकि एक तीसरा तत्व बने, जो भी समूह के भीतर होता है। समूहों को चार प्रमुख गुणों को संतुष्ट करना होता है:
- बंद: समूह के सभी तत्वों
aऔरbके लिए, ऑपरेशन का परिणाम,a * b, भी समूह में होता है। - सहचर्यता: समूह के सभी तत्वों
a,b, औरcके लिए,(a * b) * c = a * (b * c) - पहचान तत्व: समूह में एक तत्व
eमौजूद होता है ताकि समूह के हर तत्वaके लिए,a * e = e * a = a। - व्युत्क्रम तत्व: समूह के हर तत्व
aके लिए, एक तत्वbहोता है ताकिa * b = b * a = e, जहाँeपहचान तत्व होता है।
उपसमूह क्या है?
उपसमूह एक छोटा समूह है जो एक बड़े समूह के भीतर होता है। औपचारिक रूप से, एक समूह G का उपसमूह H, उपसमूह कहलाता है यदि H स्वयं G परिभाषित ऑपरेशन के तहत एक समूह बनाता है। H को G का उपसमूह होने के लिए तीन शर्तों को संतुष्ट करना चाहिए:
- गैर-खालीपन:
Hगैर-खाली है, अर्थात, इसमें कम से कम एक तत्व होता है। - बंद: किसी भी
a,bके लिएHमें, उत्पादa * bभीHमें होता है। - व्युत्क्रम:
Hमें के किसी भी तत्वaके लिए,aका व्युत्क्रम,a -1के रूप में अंकित, भीHमें होता है।
यदि ये शर्तें पूरी होती हैं, तो H, G का एक उपसमूह है, और हम लिखते हैं H ≤ G
सरल उदाहरणों के साथ उपसमूह का प्रदर्शन करें
उपसमूह की अवधारणा को आसानी से समझने के लिए कुछ दृश्य उदाहरण देखें।
उदाहरण 1: पूर्णांकों का उपसमूह
संख्या (mathbb{Z}, +) के अंतर्गत समूह का विचार करें। इस समूह का एक साधारण उपसमूह सम संख्या 2mathbb{Z} का समूह है, जो 2n के रूप में सभी संख्याओं से बनता है, जहाँ n पूर्णांक है। हम इसे निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत करते हैं:
(2mathbb{Z}, +)
आरेखात्मक रूप से, आप पूर्णांकों को एक लंबी संख्या रेखा के रूप में देख सकते हैं, जिसमें लाल बिंदु सम संख्याओं के लिए होते हैं:
लाल बिंदु सम पूर्णांकों के उपसमूह के तत्वों को दर्शाते हैं, जो स्पष्ट रूप से पूर्णांकों के बड़े समूह का एक उपसमुच्चय बनाते हैं।
उदाहरण 2: वर्ग के समरूपता समूह
वर्ग की समरूपताओं पर विचार करें, जो D_4 द्वारा निरूपित एक समूह बनाती हैं। इस समूह में निम्नलिखित तत्व होते हैं:
- पहचान (कोई परिवर्तन नहीं)
- 90 डिग्री तक की घूर्णन
- 180 डिग्री की घूर्णन
- 270 डिग्री तक की घूर्णन
- खड़ी अक्ष पर फ़्लिप करें
- क्षैतिज अक्ष पर फ़्लिप करें
- विकर्ण अक्ष पर फ़्लिप करें (दो विकल्प)
केवल घूर्णन वाले तत्वों में ही ऐसा एक संभावित उपसमूह D_4 के अंदर हो सकता है, जिसमें फ़्लिप ऑपरेशन शामिल नहीं हैं। यह उपसमूह खुद एक समूह है क्योंकि:
- यह पहचान को शामिल करता है और सभी तत्व संयोजन के तहत बंद होते हैं (दो घूर्णन का संयोजन एक और घूर्णन उत्पन्न करता है)।
- प्रत्येक घूर्णन ऑपरेशन का एक व्युत्क्रम होता है (उदाहरण के लिए, 90 डिग्री के घड़ी दिशा में घुमाव को 270 डिग्री के घड़ी दिशा में घुमाव द्वारा पूर्ववत किया जा सकता है)।
उपसमूहों के प्रमेय और गुण
उपसमूहों के कई महत्वपूर्ण गुण और प्रमेय होते हैं जो आगे की खोज और समझ के लिए उपकरण के रूप में कार्य करते हैं।
लाग्रेंज का प्रमेय
लाग्रेंज प्रमेय समूह सिद्धांत में एक मौलिक परिणाम है जो उपसमूह के आकार को पूरे समूह के आकार से जोड़ता है। यह कहता है कि:
|G| = [G : H] * |H|
जहाँ |G| समूह G का क्रम (तत्वों की संख्या) होता है, H, G का उपसमूह होता है, और [G : H] H का G में सूचकांक होता है, जो G में H के विलक्षण वाम कोसेटों की संख्या को इंगित करता है।
नॉर्मलाइज़र और सेंट्रलाइज़र
उपसमूहों के संदर्भ में, दो संबंधित निर्माण, नॉर्मलाइज़र और सेंट्रलाइज़र, अन्य समूह तत्वों के संदर्भ में उपसमूहों को समझने का साधन प्रदान करते हैं:
- एक उपसमूह
Hका नॉर्मलाइज़र,Gमें,N_G(H)द्वारा अंकित,Gके सभी तत्वों का सेट है जोHको सामान्यीकृत करता है। औपचारिक रूप से,N_G(H) = { g ∈ G | gHg -1 = H }। - एक तत्व
aका सेंट्रलाइज़र,Gमें,C_G(a)द्वारा अंकित,Gमें सभी तत्वों का सेट है जोaके साथ संगति रखते हैं। औपचारिक रूप से,C_G(a) = { g ∈ G | ga = ag }।
पाठ का उपयोग करके सरल उदाहरण
उपसमूहों की हमारी समझ को मजबूत करने के लिए कुछ सरल पाठ-आधारित उदाहरण देखें।
उदाहरण 1: एक प्रतिस्थापन का उपसमूह
प्रतिस्थापन समूह S3 पर विचार करें, जो तीन वस्तुओं के सभी प्रतिस्थापनों से बना होता है। इस समूह में निम्नलिखित तत्व होते हैं:
e- प्रतिस्थापन
(12)(तत्व 1 और 2 को अदला-बदली करें) - प्रतिस्थापन
(13)(तत्व 1 और 3 को अदला-बदली करें) - प्रतिस्थापन
(23)(तत्व 2 और 3 को अदला-बदली करें) - प्रतिस्थापन
(123)(तत्व 1, 2, और 3 को घुमाएं) - प्रतिस्थापन
(132)(तत्व 1, 3, और 2 को घुमाएं)
S3 का उपसमूह सेट {e, (123), (132)} हो सकता है। यह उपसमूह उपसमुदाय बनाने की शर्तों को संतुष्ट करता है:
- बंद: दो तत्वों का संयोजन (उदा.
(123)के बाद(123)) सेट के एक तत्व का परिणाम देता है। - व्युत्क्रम: प्रत्येक तत्व के लिए, सेट में एक संबंधित व्युत्क्रम होता है (उदा.
(123)का व्युत्क्रम(132)है)।
उदाहरण 2: चक्रीय समूह का उपसमूह
चक्रीय समूह Z6 पर विचार करें, जो योग के अंतर्गत 6 मॉड्यूलो के पूर्णांकों का समूह है। इस समूह का एक उपसमूह Z3 हो सकता है, जिसमें {0, 3} होते हैं।
- बंद: उपसमूह के किसी भी दो तत्वों को जोड़ने से उपसमूह का एक अन्य तत्व प्राप्त होता है।
- व्युत्क्रम: हर तत्व के लिए, उपसमूह में एक समकक्ष ऋणात्मक तत्व भी होता है।
निष्कर्ष
उपसमूह समूह सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे हमें जटिल समूहों को सरल घटकों में विभाजित करने की अनुमति देते हैं, जिससे समूह की संरचना और समरूपता की गहरी समझ मिलती है। चाहे दृश्य या पाठीय रूप में, उपसमूहों की पहचान करना और उनका विश्लेषण करना शुद्ध गणित में ही नहीं बल्कि अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में भी महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, जहाँ समरूपता और संरचना मायने रखते हैं।
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