Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Понимание алгебры → Теория групп ↓


Основные свойства групп


В алгебре понятие групп является фундаментальным. Группы представляют собой математическую структуру, широко используемую в абстрактной алгебре. Изучение групп помогает понять другие структуры, такие как кольца, поля и векторные пространства. Эта дисциплина имеет широкое применение в различных областях, таких как физика, химия и информатика, предоставляя согласованный способ обращения с симметриями и преобразованиями.

Определение группы

Группа — это множество G, объединенное с операцией (*), которая удовлетворяет четырем основным свойствам: замкнутость, ассоциативность, идентичность и обратимость. Эти свойства известны как аксиомы группы.

Аксиомы группы

  • Замкнутость: для всех элементов a, b в множестве G результат операции a * b также принадлежит G
  • Ассоциативность: для всех a, b, c в G уравнение (a * b) * c = a * (b * c) действительно.
  • Единичный элемент: существует элемент e в G такой, что уравнение e * a = a * e = a выполняется для всех элементов a из G
  • Обратный элемент: для каждого a в G существует элемент b в G, такой что a * b = b * a = e, где e — единичный элемент.

Визуализация основных свойств

Давайте взглянем на некоторые из этих свойств с помощью простых изображений.

Финальная идея

A B операция(a*b) Теперь

Эта диаграмма показывает замкнутость. Если у вас есть два элемента a и b из набора, то их объединение с помощью бинарной операции * дает другой элемент ab, который также находится в наборе.

Текстовый пример: замкнутость

Рассмотрим целые числа с операцией сложения. Множество целых чисел (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) является группой. Для любых двух целых чисел a и b сумма a + b также является целым числом. Таким образом, это множество замкнуто относительно сложения.

Визуализация связей

A B C (a * b) * c = a * (b * c)

Визуализация показывает, что в группе неважно, какие пары операций вы выполняете: результат будет одинаковым. Неважно, добавите ли вы сначала a и b, а затем умножите результат на c; или сначала добавите b и c, а затем умножите на a.

Текстовый пример: ассоциативность

Рассмотрим снова целые числа при сложении. Здесь для любых целых чисел a, b и c уравнение (a + b) + c = a + (b + c) действительно. Например, если a = 1, b = 2 и c = 3, то оба способа группировки дают результат 6: 

        (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6
        1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6

Визуализация единичного элемента

A E (идент) A

Единичный элемент e действует как элемент "ничего не делаю", когда применяется к любому элементу a. Это означает a * e = e * a = a.

Текстовый пример: единичный элемент

В группе целых чисел при сложении единичный элемент равен 0, потому что добавление 0 к любому целому числу a дает a само по себе. Например, 5 + 0 = 5 и 0 + 5 = 5.

Визуализация инверсий

A b (обратное для a) A B E

У каждого элемента a есть обратный элемент b, так что их операции дают единичный элемент e. Это обозначается как a * b = b * a = e.

Текстовый пример: обратный элемент

В целых числах при сложении обратный элемент для любого целого числа a — это -a, потому что a + (-a) = 0, что показывает, что каждый элемент имеет обратный элемент. Например, обратным для 3 является -3, потому что 3 + (-3) = 0.

Особые виды групп

Абелева группа

Если операция коммутативна для всех элементов, группа называется абелевой (или коммутативной) группой. Это означает, что для всех a, b в G уравнение a * b = b * a действительно.

Пример: Группа целых чисел при сложении является абелевой группой, потому что для любых целых чисел a и b a + b = b + a.

Неабелевы группы

Наоборот, неабелева группа — это группа, в которой операция не обязательно коммутативна. Это означает, что существуют элементы a, b в G, такие что a * b ≠ b * a.

Пример: Рассмотрим группу обратимых матриц 2x2 при умножении. В общем случае, умножение матриц не является коммутативным, что делает эту группу неабелевой.

Подгруппы

Подгруппа — это подмножество группы, которое само по себе является группой с той же операцией. Если H является подгруппой группы G, тогда каждый элемент H также принадлежит G, и H удовлетворяет свойствам группы в своем составе.

Пример подгруппы

Рассмотрим группу целых чисел Z при сложении. Четные целые числа 2Z образуют подгруппу Z, потому что они удовлетворяют всем аксиомам группы: замкнутость, ассоциативность, единичный элемент (0 — четное число) и обратимость (обратным для четного числа является также четное число).

Циклические группы

Группа является циклической, если она может быть сгенерирована одним элементом. Это означает, что каждый элемент в группе может быть выражен как степень (или кратное) этого единственного элемента, называемого генератором.

Пример циклической группы

Целые числа Z являются циклической группой с генератором 1, так как каждое целое число можно выразить как кратное 1: 

        0 = 0 * 1, 1 = 1 * 1, 2 = 2 * 1, -1 = -1 * 1 и т. д.

Заключение

Понимание основных свойств групп необходимо для глубокого изучения алгебры и решения сложных задач в различных научных областях. Группы предоставляют основу для симметрии и помогают нам понять природу математических операций на наборах. Независимо от того, имеете ли вы дело с симметрией в молекулах или криптографическими ключами в компьютерной безопасности, изучение групп предоставляет ценные знания и инструменты для этих областей.


Докторантура → 1.1.1


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (1.1)
Теория групп
следующая (1.1.2) →
Подгруппы

комментарии 



Основные свойства групп

https://www.buddymath.com/phd/1.1.1?bmal=ru