Doutorado
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  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
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Propriedades básicas dos grupos


Na álgebra, o conceito de grupos é fundamental. Grupos são uma estrutura matemática amplamente utilizada na álgebra abstrata. Estudar grupos ajuda a entender outras estruturas como anéis, campos e espaços vetoriais. Esta disciplina tem ampla aplicação em vários campos, como física, química e ciência da computação, fornecendo uma maneira consistente de lidar com simetrias e transformações.

Definição de grupo

Um grupo é um conjunto, G, combinado com uma operação (*) que satisfaz quatro propriedades fundamentais: fechamento, associatividade, identidade e inverso. Estas são conhecidas como os axiomas do grupo.

Axiomas do grupo

  • Fechamento: para todos os elementos a, b no conjunto G, o resultado da operação a * b também está em G
  • Associatividade: para todos a, b, c em G, a equação (a * b) * c = a * (b * c) é válida.
  • Elemento identidade: Existe um elemento e em G tal que a equação e * a = a * e = a seja verdadeira para todos os elementos a de G
  • Elemento inverso: para cada a em G, existe um elemento b em G tal que a * b = b * a = e, onde e é o elemento identidade.

Visualização das propriedades básicas

Vamos olhar algumas dessas propriedades usando figuras simples.

Ideia final

A B operação(a*b) Agora

Este diagrama mostra o fechamento. Se você tem dois elementos a e b do conjunto, então combiná-los pela operação binária * produz outro elemento ab que também está no conjunto.

Exemplo de texto: fechamento

Considere os inteiros sob adição. O conjunto dos inteiros (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) é um grupo. Para quaisquer dois inteiros a e b, a soma a + b também é um inteiro. Assim, este conjunto é fechado sob adição.

Visualização das afiliações

A B C (a * b) * c = a * (b * c)

A visualização mostra que não importa como você faz as operações de emparelhamento, em um grupo, o resultado é o mesmo. Não importa se você primeiro soma a e b, depois multiplica o resultado por c; ou se você primeiro soma b e c, depois multiplica por a.

Exemplo textual: associação

Considere novamente os inteiros sob adição. Aqui, para quaisquer inteiros a, b e c, é válido que (a + b) + c = a + (b + c). Por exemplo, se a = 1, b = 2 e c = 3, então ambas as formas de agrupar dão o resultado 6: 

        (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6
        1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6

Visualização do elemento identidade

A E (ident) A

O elemento identidade e atua como um elemento "inofensivo" quando aplicado a qualquer elemento a. Isso significa que a * e = e * a = a.

Exemplo textual: elemento identidade

No grupo dos inteiros sob adição, o elemento identidade é 0 porque adicionar 0 a qualquer inteiro a dá a mesmo. Por exemplo, 5 + 0 = 5 e 0 + 5 = 5.

Visualização das inversões

A b (o inverso de a) A B E

Todo elemento a tem um inverso b, de modo que sua operação resulta no elemento identidade e. Isso é representado como a * b = b * a = e.

Exemplo textual: inverso

Nos inteiros sob adição, o inverso de qualquer inteiro a é -a porque a + (-a) = 0, o que mostra que todo elemento tem um inverso. Por exemplo, o inverso de 3 é -3 porque 3 + (-3) = 0.

Tipos especiais de grupos

Grupo abeliano

Se a operação é comutativa para todos os elementos, o grupo é chamado de grupo abeliano (ou comutativo). Isso significa que para todos a, b em G, a equação a * b = b * a é válida.

Exemplo: O grupo dos inteiros incluindo adição é um grupo abeliano porque para quaisquer inteiros a e b, a + b = b + a.

Grupos não abelianos

Em contraste, um grupo não abeliano é aquele onde a operação não é necessariamente comutativa. Isso significa que existem elementos a, b em G tais que a * b ≠ b * a.

Exemplo: Considere o grupo de matrizes 2x2 invertíveis sob multiplicação. Em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, o que torna este grupo não abeliano.

Subgrupos

Um subgrupo é um subgrupo de um grupo que é em si mesmo um grupo com a mesma operação. Se H é um subgrupo de um grupo G, então todo elemento de H também está em G, e H satisfaz as propriedades do grupo dentro de si mesmo.

Exemplo de um subgrupo

Considere o grupo dos inteiros Z sob adição. Os inteiros pares 2Z formam um subgrupo de Z porque satisfazem todos os axiomas do grupo: fechamento, associatividade, identidade (0 é um número par) e inverso (o inverso de um número par também é par).

Grupos cíclicos

Um grupo é cíclico se pode ser gerado por um único elemento. Isso significa que todo elemento do grupo pode ser expresso como potências (ou múltiplos) deste único elemento, chamado de gerador.

Exemplo de um grupo cíclico

Os inteiros Z são um grupo cíclico, com 1 como gerador, já que todo inteiro pode ser escrito como um múltiplo de 1: 

        0 = 0 * 1, 1 = 1 * 1, 2 = 2 * 1, -1 = -1 * 1, etc.

Conclusão

Compreender as propriedades básicas dos grupos é essencial para aprofundar-se na álgebra e resolver problemas complexos em vários campos científicos. Os grupos fornecem uma estrutura para a simetria e nos ajudam a entender a natureza das operações matemáticas em conjuntos. Seja lidando com simetria em moléculas ou chaves criptográficas na segurança computacional, o estudo dos grupos proporciona insights e ferramentas valiosas para essas áreas.


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