群の基本的な性質

代数学では、群の概念は基本的なものです。群は抽象代数学で広く使用される数学的構造です。群を学ぶことは、環、体、ベクトル空間などの他の構造を理解するのに役立ちます。この学問は、物理学、化学、コンピューターサイエンスなどのさまざまな分野で広く応用されており、対称性や変換を一貫して扱う方法を提供しています。

群の定義

群とは、ある集合Gに演算（*）を組み合わせたもので、閉包性、結合性、単位元、逆元という4つの基本的な性質を満たします。これらは群の公理として知られています。

群の公理

• 閉包性: 集合Gのすべての要素a, bについて、演算a * bの結果もGに含まれる。
• 結合性: G内のすべてのa, b, cについて、方程式(a * b) * c = a * (b * c)が成り立つ。
• 単位元: G内には要素eが存在し、e * a = a * e = aという方程式がGのすべての要素aについて成り立つ。
• 逆元: G内のすべてのaについて、G内に要素bが存在し、a * b = b * a = eが成り立つ。ここでeは単位元。

基本的な性質の可視化

これらの性質のいくつかを簡単な図を使って見てみましょう。

最終的なアイデア

この図は閉包性を示しています。セットから2つの要素aとbを取り、二項演算*で結合すると、セット内の別の要素abが得られます。

テキスト例: 閉包

整数について考えてみましょう。整数の集合（..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...）は群です。任意の2つの整数aとbについて、和a + bもまた整数です。したがって、この集合は加法の下で閉じています。

結合性の可視化

このビジュアライゼーションは、どのように組み合わせを行っても、群では結果が同じであることを示しています。最初にaとbを足し、その結果をcに乗じるか、最初にbとcを足してからaに乗じるかは関係ありません。

テキスト例: 結合性

再び、加法の下での整数を考えてみましょう。ここで、任意の整数a、b、cについて、(a + b) + c = a + (b + c)が成り立ちます。例えば、a = 1、b = 2、c = 3の場合、どちらのグループも結果は6になります：

        (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6
        1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6

単位元の可視化

単位元eは、任意の要素aに適用された場合に「何もしない」要素として機能します。これは、a * e = e * a = aということです。

テキスト例: 単位元

加法の下にある整数の群では、単位元は0です。なぜなら、0を任意の整数aに加えると、a自身になるからです。例えば、5 + 0 = 5および0 + 5 = 5です。

逆元の可視化

すべての要素aは逆元bを持ち、その演算により単位元eが得られます。これはa * b = b * a = eとして表されます。

テキスト例: 逆元

加法の下にある整数では、任意の整数aの逆元は-aです。なぜならa + (-a) = 0であり、すべての要素に逆元が存在することを示しているからです。例えば、3の逆元は-3です。なぜなら3 + (-3) = 0だからです。

特殊な種類の群

アーベル群

すべての要素に対して演算が可換である場合、その群はアーベル群（または可換群）と呼ばれます。すなわち、G内のすべてのa、bについて、方程式a * b = b * aが成り立ちます。

例: 整数を含む加法の群はアーベル群です。なぜなら、任意の整数aとbについて、a + b = b + aであるからです。

非アーベル群

対照的に、演算が必ずしも可換でない群を非アーベル群と呼びます。つまり、G内にはa、bという要素が存在し、a * b ≠ b * aが成り立つ。

例: 2x2の可逆行列の乗法の群を考えます。通常、行列の乗法は可換ではないため、この群は非アーベルです。

部分群

部分群は、同じ演算を持つ群の部分群で、自己が群であるものです。もしHが群Gの部分群であるならば、Hのすべての要素はGにも含まれ、Hはそれ自体の中で群の性質を満たします。

部分群の例

整数Zの群を加法の下で考えます。偶数の整数2ZはZの部分群を形成します。なぜなら、それらは群の公理（閉包性、結合性、単位元（0は偶数）、逆元（偶数の逆元も偶数））を満たすからです。

巡回群

巡回群とは、1つの要素によって生成できる群のことです。これは、群のすべての要素がこの1つの要素のべき乗（または倍数）として表現できることを意味し、この要素を生成元と呼びます。

巡回群の例

整数Zは巡回群であり、1が生成元です。なぜなら、すべての整数は1の倍数として書くことができるからです：

        0 = 0 * 1, 1 = 1 * 1, 2 = 2 * 1, -1 = -1 * 1, etc.

結論

群の基本的な性質を理解することは、代数を深く掘り下げ、さまざまな科学的分野で複雑な問題を解くために不可欠です。群は対称性に対する枠組みを提供し、集合上の数学的操作の性質を理解するのに役立ちます。分子の対称性やコンピュータセキュリティにおける暗号鍵を扱うにあたって、群の研究はこれらの分野に貴重な洞察とツールを提供します。

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