Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

Doctorado → Comprendiendo el Álgebra → Teoría de grupos ↓


Propiedades básicas de los grupos


En álgebra, el concepto de grupos es fundamental. Los grupos son una estructura matemática ampliamente utilizada en álgebra abstracta. Estudiar grupos te ayuda a comprender otras estructuras como anillos, campos y espacios vectoriales. Esta disciplina tiene amplias aplicaciones en diversos campos como la física, la química y la informática, proporcionando una forma coherente de tratar simetrías y transformaciones.

Definición de grupo

Un grupo es un conjunto, G, combinado con una operación (*) que satisface cuatro propiedades fundamentales: clausura, asociatividad, identidad e inverso. Estas son conocidas como los axiomas de grupo.

Axiomas de grupo

  • Clausura: para todos los elementos a, b en el conjunto G, el resultado de la operación a * b también está en G
  • Asociatividad: para todos a, b, c en G, la ecuación (a * b) * c = a * (b * c) es válida.
  • Elemento identidad: Existe un elemento e en G tal que la ecuación e * a = a * e = a se cumple para todos los elementos a de G.
  • Elemento inverso: para cada a en G, existe un elemento b en G tal que a * b = b * a = e, donde e es el elemento identidad.

Visualización de propiedades básicas

Miremos algunas de estas propiedades usando imágenes simples.

Idea final

A B operación(a*b) Ahora

Este diagrama muestra la clausura. Si tienes dos elementos a y b del conjunto, entonces combinarlos mediante la operación binaria * da como resultado otro elemento ab que también está en el conjunto.

Ejemplo de texto: cierre

Consideremos los enteros bajo la suma. El conjunto de enteros (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) es un grupo. Para cualquier dos enteros a y b, la suma a + b también es un entero. Así, este conjunto está cerrado bajo suma.

Visualización de afiliaciones

A B C (a * b) * c = a * (b * c)

La visualización muestra que no importa cómo realices las operaciones de emparejamiento, en un grupo, el resultado es el mismo. No importa si primero sumas a y b, luego multiplicas el resultado por c; o si primero sumas b y c, luego multiplicas por a.

Ejemplo textual: asociación

Consideremos nuevamente los enteros bajo la suma. Aquí, para cualquier enteros a, b y c, es válido que (a + b) + c = a + (b + c). Por ejemplo, si a = 1, b = 2 y c = 3, entonces ambas formas de agrupar dan como resultado 6: 

        (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6
        1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6

Visualización del elemento identidad

A E (ident) A

El elemento identidad e actúa como un elemento "que no hace nada" cuando se aplica a cualquier elemento a. Esto significa que a * e = e * a = a.

Ejemplo textual: elemento identidad

En el grupo de los enteros bajo la suma, el elemento identidad es 0 porque al sumar 0 a cualquier entero a se obtiene a mismo. Por ejemplo, 5 + 0 = 5 y 0 + 5 = 5.

Visualización de las inversiones

A b (el inverso de a) A B E

Cada elemento a tiene un inverso b, de modo que su operación da como resultado el elemento identidad e. Esto se representa como a * b = b * a = e.

Ejemplo textual: inverso

En los enteros bajo la suma, el inverso de cualquier entero a es -a porque a + (-a) = 0, lo que muestra que cada elemento tiene un inverso. Por ejemplo, el inverso de 3 es -3 porque 3 + (-3) = 0.

Tipos especiales de grupos

Grupo abeliano

Si la operación es conmutativa para todos los elementos, el grupo se llama un grupo abeliano (o conmutativo). Esto significa que para todos a, b en G, la ecuación a * b = b * a es válida.

Ejemplo: El grupo de enteros incluyendo la suma es un grupo abeliano porque para cualquier enteros a y b, a + b = b + a.

Grupos no abelianos

En contraste, un grupo no abeliano es aquel donde la operación no es necesariamente conmutativa. Esto significa que existen elementos a, b en G tales que a * b ≠ b * a.

Ejemplo: Considere el grupo de matrices 2x2 invertibles bajo la multiplicación. En general, la multiplicación de matrices no es conmutativa, lo que hace que este grupo no sea abeliano.

Subgrupos

Un subgrupo es un subconjunto de un grupo que es en sí mismo un grupo con la misma operación. Si H es un subgrupo de un grupo G, entonces cada elemento de H también está en G, y H satisface las propiedades de grupo dentro de sí mismo.

Ejemplo de un subgrupo

Considere el grupo de enteros Z bajo la suma. Los enteros pares 2Z forman un subgrupo de Z porque satisfacen todos los axiomas de grupo: clausura, asociatividad, identidad (0 es un número par) e inverso (el inverso de un número par también es par).

Grupos cíclicos

Un grupo es cíclico si puede ser generado por un solo elemento. Esto significa que cada elemento en el grupo puede ser expresado como potencias (o múltiplos) de este único elemento, llamado el generador.

Ejemplo de un grupo cíclico

Los enteros Z son un grupo cíclico, con 1 como generador, ya que cada entero puede ser escrito como un múltiplo de 1: 

        0 = 0 * 1, 1 = 1 * 1, 2 = 2 * 1, -1 = -1 * 1, etc.

Conclusión

Comprender las propiedades básicas de los grupos es esencial para profundizar en la álgebra y resolver problemas complejos en varios campos científicos. Los grupos proporcionan un marco para la simetría y nos ayudan a entender la naturaleza de las operaciones matemáticas en conjuntos. Ya sea tratando con simetrías en moléculas o claves criptográficas en seguridad informática, el estudio de los grupos proporciona valiosos conocimientos y herramientas para estos campos.


Doctorado → 1.1.1


U
username
0%
completado en Doctorado

← Anterior (1.1)
Teoría de grupos
Siguiente (1.1.2) →
Subgrupos

Comentarios 



Propiedades básicas de los grupos

https://www.buddymath.com/phd/1.1.1?bmal=es