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简单群与可解群

在数学中，有许多有趣的概念和结构，尤其是在被称为群论的领域。两种重要的群类型是简单群和可解群。这些概念有助于理解数学群的复杂性和行为。

群的介绍

群是一个结合了运算的集合，满足被称为群公理的四个主要条件：封闭性、结合性、单位元和可逆性。正式地，一个群(G, *)由一个集合G和一个二元运算*组成，使得：

封闭性：对于G中的每个a, b，a * b也在G中
结合性：对于G中的每个a, b, c，(a * b) * c = a * (b * c)
单位元：存在G中的一个元素e，使得对G中的每个元素a，e * a = a * e = a
可逆性：对于G中的每个元素a，存在G中的一个元素b，使得a * b = b * a = e

简单群

简单群是一个非平凡群，其唯一的正规子群是平凡群和群自身。这意味着简单群不能通过取正规子群的运算分解为更小的群，使其成为群论中的基本构建块。

理解正规子群

若群G的一个子群N在G的成员下共轭后保持不变，则称为正规子群。正式地，对于N 中的每个n和G中的每个g，元素g * n * g ^-1仍在N中

简单群的示例：交替群 A₅

一个经典的简单群示例是交替群A ₅，它是五个元素的偶置换群。让我们描述一下置换是什么并探索这个概念：

置换

一个集合的置换是其元素的重新排列。例如，如果我们有一个集合{1, 2, 3}，那么它的一些置换是：

{1, 2, 3} → {2, 1, 3}

{1, 2, 3} → {3, 2, 1}

偶置换

如果一个置换可以表示为偶数个换位（换位是两个元素的简单交换），则称为偶置换。例如，置换(1 2 3 4 5) _→ (2 1 3 4 5)是一次换位，因此是偶数。

交替群 _A5

群_{A 5}由五个元素的所有偶置换组成。这个群独特在于它是最小的非交换简单群。

_A5

可解群

可解群是能够通过使用一系列子群（称为次正规序列）分解为更简单的群的群，次正规序列中的每个子群都是之前子群的正规子群，并且使得商群都是交换群（交换的群）。

理解次正规序列

次正规序列是一个子群序列{e} = G ₀ ⊲ G ₁ ⊲ ⋯ ⊲ G _n = G，其中每个G _i都是G _i+1的正规子群。如果所有商群G _i+1 / G _i都是交换的，则群G是可解的。

可解群的示例：对称群 S₃

对称群S ₃包含所有三个元素的置换，是一个简单的可解群例子。它可以用一个使每个商群都是交换的子群序列表示：

从平凡子群{e}开始。
接下来，包括由单位元和一个换位组成的子群，该子群本身是正规的。
最后，加入群_{S 3}。

这里的关键性质是所有的商群都是交换的。对于S ₃，次正规序列如下所示：

{E} ⊲ Z ₃ ⊲ S ₃