Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Grupos simples e solucionáveis


Existem muitos conceitos e estruturas interessantes na matemática, especialmente no campo chamado teoria dos grupos. Dois tipos importantes de grupos são os grupos simples e os grupos solucionáveis. Esses conceitos ajudam a entender a complexidade e o comportamento dos grupos matemáticos.

Introdução ao grupo

Um grupo é um conjunto combinado com uma operação que satisfaz quatro condições principais conhecidas como axiomas de grupo: fechamento, associatividade, identidade e invertibilidade. Formalmente, um grupo (G, *) consiste em um conjunto G e uma operação binária * tal que:

  • Fechamento: para todo a, b em G, a * b também está em G
  • Associatividade: para todo a, b, c em G, (a * b) * c = a * (b * c)
  • Identidade: Existe um elemento e em G tal que para todo elemento a em G, e * a = a * e = a.
  • Invertibilidade: para todo elemento a em G, existe um elemento b em G tal que a * b = b * a = e.

Grupo simples

Um grupo simples é um grupo não trivial cujos únicos subgrupos normais são o grupo trivial e o próprio grupo. Isso significa que um grupo simples não pode ser decomposto em grupos menores por meio da operação de tomar subgrupos normais, tornando-o um bloco de construção essencial na teoria dos grupos.

Compreendendo subgrupos normais

Um subgrupo N de um grupo G é conhecido como subgrupo normal se permanecer inalterado sob conjugação pelos membros de G. Formalmente, para todo n em N e todo g em G, o elemento g * n * g -1 ainda está em N

Exemplo de um grupo simples: grupo alternado A5

Um exemplo clássico de um grupo simples é o grupo alternado A 5, que é o grupo de permutações pares de cinco elementos. Vamos descrever o que é uma permutação e explorar esse conceito:

Permutação

Uma permutação de um conjunto é uma reorganização de seus elementos. Por exemplo, se tivermos um conjunto {1, 2, 3}, então algumas de suas permutações são:

{1, 2, 3} → {2, 1, 3}
{1, 2, 3} → {3, 2, 1}

Permutação par

Uma permutação é par se puder ser expressa como um número par de transposições (uma transposição é uma troca simples de dois elementos). Por exemplo, a permutação (1 2 3 4 5) → (2 1 3 4 5) é uma transposição e, portanto, é par.

Grupo opcional A5

O grupo A 5 é composto de todas as permutações pares de cinco elementos. Este grupo é único por ser o menor grupo simples não abeliano.

A5

Grupos solucionáveis

Um grupo solucionável é um grupo que pode ser decomposto em grupos mais simples usando uma série de subgrupos, conhecida como série subnormal, cada um dos quais é um subgrupo normal do anterior, e tal que os grupos quocientes são todos abelianos (grupos comutativos).

Compreendendo séries subnormais

Uma cadeia subnormal é uma sequência de subgrupos {e} = G 0 ⊲ G 1 ⊲ ⋯ ⊲ G n = G onde cada G i é um subgrupo normal de G i+1. Um grupo G é solucionável se todos os grupos quocientes G i+1 / G i forem abelianos.

Exemplo de um grupo solucionável: o grupo simétrico S3

O grupo simétrico S 3, que consiste em todas as permutações de três elementos, é um exemplo simples de um grupo solucionável. Ele pode ser representado usando uma série de subgrupos onde cada quociente é abeliano:

  • Comece com o subgrupo trivial {e}.
  • Inclua, em seguida, o subgrupo formado pela identidade e uma única transposição, que é ele mesmo normal.
  • Finalmente, o grupo S 3 também é adicionado.

A propriedade chave aqui é que os grupos quocientes são todos abelianos. Para S 3, a série subnormal se parece com isso:

{E} ⊲ Z 3 ⊲ S 3

Inter-relações entre grupos simples e solucionáveis

Pode-se pensar na relação entre grupos simples e solucionáveis da seguinte forma. Essencialmente, os grupos simples representam um nível "atômico" na estrutura dos grupos. Em contraste, grupos solucionáveis podem ser "resolvidos" ou decompostos em componentes mais simples, todos os quais são abelianos.

Teoricamente, todo grupo finito é construído a partir de grupos simples, fazendo dos grupos simples os blocos de construção de estruturas de grupos mais complexas. Enquanto isso, grupos solucionáveis indicam o grau de "complexidade" de decompor um grupo através de camadas abelianas.

Teorema de Feit–Thompson

Um resultado importante neste contexto é o teorema de Feit–Thompson, que afirma que todo grupo finito de ordem ímpar é solucionável. Este teorema ajuda a delinear claramente quando um grupo pode ser decomposto em fatores abelianos versus quando sua estrutura permanece irreduzivelmente complexa.

Por que estudar grupos simples e solucionáveis?

O estudo desses grupos oferece um profundo insight na estrutura interna dos grupos. Grupos simples, como o grupo alternado A5, não podem ser decompostos em grupos menores, tornando-os os "átomos" fundamentais da teoria dos grupos.

Por outro lado, grupos solucionáveis envolvem um maior entendimento de como operações complexas podem ser simplificadas em propriedades abelianas. Em aplicações práticas, esses grupos podem modelar vários sistemas do mundo real, como arranjos simétricos ou sistemas hierárquicos dentro de redes.

Aplicação

Tanto grupos simples quanto solucionáveis encontram inúmeras aplicações em vários campos:

  • Teoria da codificação: Grupos solucionáveis desempenham um papel na correção de erros e na criptografia.
  • Física: Grupos simples ajudam a explicar a simetria de partículas.
  • Química: As simetrias moleculares são muitas vezes descritas usando princípios da teoria dos grupos.
  • Ciência da computação: Algoritmos, especialmente aqueles relacionados à teoria dos grafos, muitas vezes usam insights obtidos da teoria dos grupos.

Conclusão

Grupos simples e solucionáveis são os pilares do estudo das estruturas algébricas chamadas grupos. Enquanto grupos simples são complexos em sua indecomponibilidade, grupos solucionáveis fornecem insight na decomposição de tais estruturas. Compreender ambos os conceitos expande o framework para lidar com diversos problemas matemáticos e do mundo real, tornando esses conceitos indispensáveis no campo da matemática.

A descoberta de grupos simples e solucionáveis destaca a beleza da abstração e teoria matemáticas, que contribuem para o progresso não apenas no campo da matemática, mas também em várias disciplinas da ciência e engenharia.


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