Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Grupos simples y resolubles


Existen muchos conceptos y estructuras interesantes en matemáticas, especialmente en el campo llamado teoría de grupos. Dos tipos importantes de grupos son los grupos simples y los grupos resolubles. Estos conceptos ayudan a comprender la complejidad y el comportamiento de los grupos matemáticos.

Introducción al grupo

Un grupo es un conjunto combinado con una operación que satisface cuatro condiciones principales conocidas como axiomas de grupo: clausura, asociatividad, identidad e invertibilidad. Formalmente, un grupo (G, *) consta de un conjunto G y una operación binaria * tal que:

  • Clausura: para cada a, b en G, a * b también está en G
  • Asociatividad: para cada a, b, c en G, (a * b) * c = a * (b * c)
  • Identidad: Existe un elemento e en G tal que para cada elemento a en G, e * a = a * e = a.
  • Invertibilidad: para cada elemento a en G, existe un elemento b en G tal que a * b = b * a = e.

Grupo simple

Un grupo simple es un grupo no trivial cuyos únicos subgrupos normales son el grupo trivial y el grupo mismo. Esto significa que un grupo simple no puede descomponerse en grupos más pequeños mediante la operación de tomar subgrupos normales, lo que lo convierte en un bloque de construcción esencial en la teoría de grupos.

Comprendiendo los subgrupos normales

Un subgrupo N de un grupo G se conoce como subgrupo normal si permanece inalterado bajo la conjugación por los miembros de G. Formalmente, para cada n en N y cada g en G, el elemento g * n * g -1 sigue estando en N

Ejemplo de un grupo simple: grupo alternado A5

Un ejemplo clásico de un grupo simple es el grupo alternado A 5, que es el grupo de permutaciones pares de cinco elementos. Describamos qué es una permutación y exploremos este concepto:

Permutación

Una permutación de un conjunto es un reordenamiento de sus elementos. Por ejemplo, si tenemos un conjunto {1, 2, 3}, entonces algunas de sus permutaciones son:

{1, 2, 3} → {2, 1, 3}
{1, 2, 3} → {3, 2, 1}

Permutación par

Una permutación es par si puede expresarse como un número par de transposiciones (una transposición es un intercambio simple de dos elementos). Por ejemplo, la permutación (1 2 3 4 5) → (2 1 3 4 5) es una transposición y, por lo tanto, es par.

Grupo alternado A5

El grupo A 5 está compuesto por todas las permutaciones pares de cinco elementos. Este grupo es único por ser el grupo simple no abeliano más pequeño.

A5

Grupos resolubles

Un grupo resoluble es un grupo que puede descomponerse en grupos más simples utilizando una serie de subgrupos, conocida como la serie subnormal, cada uno de los cuales es un subgrupo normal del anterior, y tal que los grupos de cocientes son todos abelianos (grupos conmutativos).

Comprendiendo la serie subnormal

Una cadena subnormal es una secuencia de subgrupos {e} = G 0 ⊲ G 1 ⊲ ⋯ ⊲ G n = G donde cada G i es un subgrupo normal de G i+1. Un grupo G es resoluble si todos los grupos de cocientes G i+1 / G i son abelianos.

Ejemplo de un grupo resoluble: el grupo simétrico S3

El grupo simétrico S 3, que consta de todas las permutaciones de tres elementos, es un ejemplo simple de un grupo resoluble. Puede representarse usando una serie de subgrupos donde cada cociente es abeliano:

  • Comienza con el subgrupo trivial {e}.
  • Luego, incluye el subgrupo formado por la identidad y una sola transposición, que es normal en sí misma.
  • Finalmente, el grupo S 3 también se añade.

La propiedad clave aquí es que los grupos de cocientes son todos abelianos. Para S 3, la serie subnormal se ve así:

{E} ⊲ Z 3 ⊲ S 3

Interrelaciones entre grupos simples y resolubles

Se puede pensar en la relación entre grupos simples y resolubles de la siguiente manera. Esencialmente, los grupos simples representan un nivel "atómico" en la estructura de los grupos. En cambio, los grupos resolubles pueden "resolverse" o descomponerse en componentes más simples, todos los cuales son abelianos.

Teóricamente, cada grupo finito está construido a partir de grupos simples, lo que hace de los grupos simples los componentes básicos de estructuras de grupos más complejas. Mientras tanto, los grupos resolubles indican el grado de "complejidad" de descomponer un grupo mediante capas abelianas.

Teorema de Feit–Thompson

Un resultado importante en este contexto es el teorema de Feit–Thompson, que establece que todo grupo finito de orden impar es resoluble. Este teorema ayuda a delinear claramente cuándo un grupo puede descomponerse en factores abelianos frente a cuándo su estructura permanece irreductiblemente compleja.

¿Por qué estudiar grupos simples y resolubles?

El estudio de estos grupos proporciona una comprensión profunda de la estructura interna de los grupos. Los grupos simples, como el grupo alternado A 5, no pueden descomponerse en grupos más pequeños, lo que los convierte en los "átomos" fundamentales de la teoría de grupos.

Por otro lado, los grupos resolubles implican una mejor comprensión de cómo las operaciones complejas pueden simplificarse en propiedades abelianas. En aplicaciones prácticas, estos grupos pueden modelar varios sistemas del mundo real, como configuraciones simétricas o sistemas jerárquicos dentro de redes.

Aplicación

Tanto los grupos simples como los resolubles encuentran numerosas aplicaciones en varios campos:

  • Teoría de códigos: Los grupos resolubles juegan un papel en la corrección de errores y en criptografía.
  • Física: Los grupos simples ayudan a explicar la simetría de las partículas.
  • Química: Las simetrías moleculares se describen a menudo utilizando principios teóricos de grupos.
  • Informática: Los algoritmos, especialmente aquellos relacionados con la teoría de grafos, a menudo utilizan ideas obtenidas de la teoría de grupos.

Conclusión

Los grupos simples y resolubles son la base del estudio de las estructuras algebraicas llamadas grupos. Mientras que los grupos simples son complejos en su indecomponibilidad, los grupos resolubles proporcionan una visión de la descomposición de tales estructuras. Comprender ambos conceptos amplía el marco para manejar diversos problemas matemáticos y del mundo real, convirtiéndolos en conceptos indispensables en el campo de las matemáticas.

El descubrimiento de grupos simples y resolubles subraya la belleza de la abstracción y teoría matemática, que contribuye al progreso no solo en el campo de las matemáticas, sino en varias disciplinas de la ciencia y la ingeniería.


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