9º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Compreendendo os números reais  1.2. Números racionais  1.3. Números irracionais  1.4. Propriedades dos números reais  1.5. Leis dos expoentes e radicais  1.6. Representação na reta numérica  1.7. Representação decimal de números reais
  2. Polinômios  2.1. Definição e tipos de polinômios  2.2. Grau de um polinômio  2.3. Zeros de um polinômio  2.4. Introdução ao Teorema do Resto  2.5. Fatoração de Polinômios  2.6. Entendendo identidades algébricas  2.7. Equações polinomiais e raízes
  3. Geometria Analítica  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Desenhando pontos em um plano  3.3. Compreendendo a fórmula de distância na geometria coordenada  3.4. Fórmula de Secção  3.5. Área de um triângulo  3.6. Coordenadas do ponto médio e centróide
  4. Equações lineares em duas variáveis  4.1. Soluções de uma equação linear  4.2. Método gráfico  4.3. Método algébrico para resolver equações lineares em duas variáveis  4.4. Compreendendo as aplicações das equações lineares em duas variáveis  4.5. Introdução às desigualdades lineares em duas variáveis
  5. Introdução à Geometria Euclidiana  5.1. Definições e termos básicos na geometria euclidiana  5.2. Axiomas e postulados  5.3. Teoremas sobre ângulos e linhas  5.4. Propriedades de linhas paralelas  5.5. Construção de triângulos  5.6. Axioma de Congruência
  6. Linhas e ângulos  6.1. Entendendo as relações de pares de ângulos  6.2. Linhas paralelas e linhas transversais  6.3. Propriedades dos ângulos formados por linhas paralelas  6.4. Propriedade da soma dos ângulos de um triângulo  6.5. Tipos de ângulos
  7. Triângulo  7.1. Congruência de triângulos  7.2. Critérios de congruência em triângulos  7.3. Propriedades dos triângulos  7.4. Desigualdades em um triângulo  7.5. Similaridade de triângulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Quadrilátero  8.1. Propriedades dos quadriláteros  8.2. Tipos de quadriláteros  8.3. Teorema do ponto médio em quadriláteros  8.4. Propriedades do paralelogramo  8.5. Propriedades do Trapézio e da Pipa  8.6. Diagonais e suas propriedades
  9. Áreas de paralelogramos e triângulos  9.1. Área do paralelogramo  9.2. Compreendendo a área de um triângulo  9.3. Provas de teoria do campo  9.4. Aplicações da teoria de campo
  10. Compreendendo Círculos  10.1. Definições e termos  10.2. Propriedades do círculo  10.3. Compreendendo as propriedades das cordas nos círculos  10.4. Tangentes a um círculo  10.5. Quadrilátero cíclico  10.6. Compreendendo arcos e ângulos subtendidos em círculos
  11. Construção  11.1. Construção básica  11.2. Construção de bissetriz  11.3. Construção de triângulos  11.4. Construção de tangentes a um círculo  11.5. Construindo ângulos de uma medida dada
  12. Compreendendo a fórmula de Heron  12.1. Área de um triângulo usando a fórmula de Heron  12.2. Usando a fórmula de Herão para vários triângulos e quadriláteros  12.3. Prova da fórmula de Herão
  13. Área de superfície e volume  13.1. Área de superfície do cubo, paralelepípedo e cilindro  13.2. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  13.3. Área da superfície e volume de um cone  13.4. Área de superfície e volume da esfera e hemisfério  13.5. Conversão de unidades  13.6. Volume de um prisma
  14. Figuras  14.1. Coleta de dados  14.2. Apresentação de dados  14.3. Introdução às medidas de tendência central  14.4. Média, mediana e moda  14.5. Representação gráfica de dados  14.6. Extensão e Medição da Dispersão
  15. Compreendendo a Probabilidade  15.1. Introdução à probabilidade  15.2. Probabilidade experimental  15.3. Probabilidade teórica  15.4. Problemas Simples sobre Probabilidade

9º ano → Áreas de paralelogramos e triângulos ↓


Aplicações da teoria de campo


Teoremas de área são conceitos fundamentais em matemática que nos ajudam a entender a forma de várias figuras. Nesta explicação, aprofundaremos as aplicações práticas do teorema da área, especialmente para paralelogramos e triângulos. Nosso objetivo é tornar esses conceitos mais fáceis de entender, especialmente para alguém no 9º ano.

Compreendendo os conceitos básicos

Antes de entrar em teoremas específicos e suas aplicações, é importante entender o que são áreas, paralelogramos e triângulos.

Área

A área de uma forma é definida como a quantidade de espaço fechado dentro de seu limite. Geralmente é medida em unidades quadradas, como metros quadrados (m²), centímetros quadrados (cm²), etc.

Paralelogramo

Um paralelogramo é uma forma de quatro lados na qual os lados opostos são paralelos e iguais em comprimento. Exemplos de paralelogramos incluem quadrados, retângulos e losangos.

Triângulo

Um triângulo é uma forma de três lados com três arestas e três vértices. Eles podem ter diferentes formas, como equilátero (todos os lados iguais), isósceles (dois lados iguais) e escaleno (todos os lados diferentes).

Área do paralelogramo

A área de um paralelogramo pode ser calculada usando a seguinte fórmula:

Área = Base x Altura

Exemplo

Considere um paralelogramo cuja base é de 5 cm e altura é de 3 cm.

5 cm 3 cm

Substituindo a base e a altura na fórmula, obtemos:

Área = 5 cm x 3 cm = 15 cm²

Área dos triângulos

A área de um triângulo pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:

Área = 1/2 x Base x Altura

Exemplo

Suponha que temos um triângulo cuja base é de 6 cm e altura é de 4 cm.

6 cm 4 cm

Substituindo os valores dados na fórmula, calculamos:

Área = 1/2 x 6 cm x 4 cm = 12 cm²

Compreensão comparativa

Ao explorar as áreas de diferentes formas, é útil entender como mudar as dimensões, como a base ou a altura, afeta a área total.

Explorando com paralelogramos

Vamos mudar a altura do paralelogramo mantendo a base constante. Considere um paralelogramo com uma base de 6 cm. Se a altura mudar de 2 cm para 4 cm, qual é o efeito na sua área?

Para altura = 2 cm:

Área = 6 cm x 2 cm = 12 cm²

Para altura = 4 cm:

Área = 6 cm x 4 cm = 24 cm²

Vemos que ao dobrar a altura, a área também dobra.

Explorando com triângulos

Em um triângulo, mantenha a base fixa em 8 cm e mude a altura. Compare as áreas de alturas de 3 cm e 6 cm.

Para altura = 3 cm:

Área = 1/2 x 8 cm x 3 cm = 12 cm²

Para altura = 6 cm:

Área = 1/2 x 8 cm x 6 cm = 24 cm²

Assim como em um paralelogramo, dobrar a altura de um triângulo dobra sua área.

Aplicações na vida real

Construção e arquitetura

Ao projetar edifícios, arquitetos frequentemente usam paralelogramos e triângulos. Calcular a área é importante para determinar a quantidade de materiais necessários ou para garantir consistência e proporções estéticas.

Medição de terra

Agricultores calculam a área de suas terras para gerenciar suas colheitas e recursos de forma eficiente. A terra nem sempre pode ser retangular; às vezes pode ser uma peça inclinada que forma um triângulo com a base de outras peças.

Arte e design

Desenhos de padrões em roupas, mosaicos e papéis de parede usam simetria e cálculos de área para equilíbrio. Entender essas propriedades geométricas ajuda a criar um trabalho visualmente atraente.

Problemas e soluções

Vamos trabalhar em alguns problemas para fortalecer nosso entendimento desses conceitos.

Problema 1

Um lado de um paralelogramo é 10 cm e a altura perpendicular a este lado é 7 cm. Encontre sua área.

Solução

Área = Base x Altura = 10 cm x 7 cm = 70 cm²

Problema 2

Encontre a área de um triângulo com base 15 cm e altura 8 cm.

Solução

Área = 1/2 x Base x Altura = 1/2 x 15 cm x 8 cm = 60 cm²

Conclusão

A aplicação dos teoremas de área para paralelogramos e triângulos é vasta e variada. Compreender esses conceitos básicos não só ajuda a resolver problemas de livros didáticos, mas também na forma como interagimos com formas geométricas na vida real. Seja na construção, no design ou na resolução de problemas do dia a dia, saber calcular áreas é uma habilidade inestimável.


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