Доказательства теории площадей

В этой статье мы исследуем доказательства теорем о площадях, особенно при работе с параллелограммами и треугольниками. Понимание этих доказательств повысит ваше понимание геометрии и свойств, которые управляют этими фигурами. Мы увидим, как вычисляются их площади и логика, лежащая в основе этих вычислений.

Площадь параллелограмма

Параллелограмм - это четырехугольная фигура, в которой противоположные стороны параллельны и равны по длине. Для нахождения его площади используется следующая формула:

Площадь = Основание × Высота

Здесь "основание" относится к длине нижней стороны параллелограмма, а "высота" - к перпендикулярному расстоянию между основанием и противоположной стороной. Давайте посмотрим доказательство, почему эта формула работает.

Визуальный пример

Рассмотрим стандартный параллелограмм, приведенный ниже:

Доказательство формулы площади

Чтобы лучше понять это, рассмотрим разрез параллелограмма вдоль одного из его диагоналей, образующий два треугольника. Эти два треугольника подобны — они имеют одинаковый размер и форму. Эта подобие помогает понять, что площадь параллелограмма можно рассматривать как сумму площадей этих двух треугольников.

Переместим один из этих треугольников, чтобы образовать прямоугольник, в котором основание и высота параллелограмма остаются неизменными. У прямоугольников простая формула площади: Площадь = Длина × Ширина. В перестроенном прямоугольнике основание параллелограмма служит длиной, а высота параллелограмма становится шириной. Таким образом, формула Площадь = Основание × Высота возникает естественным образом и доказывается путем перестановки фигуры.

Площадь треугольника

Треугольник - это многоугольник с тремя сторонами. Формула для нахождения площади треугольника отличается от формулы для нахождения площади параллелограмма. Площадь треугольника определяется по формуле:

Площадь = 1/2 × Основание × Высота

Визуальный пример

Рассмотрим треугольник, показанный ниже:

Доказательство формулы площади

Формула для площади треугольника может быть выведена путем сравнения его с площадью параллелограмма. Рассмотрим треугольник с основанием b и высотой h. Если создать второй подобный треугольник и соединить его с первым, они образуют параллелограмм. Площадь этого параллелограмма будет Основание × Высота, что соответствует b × h.

Поскольку исходная фигура была просто треугольником, площадь треугольника составляет ровно половину площади параллелограмма. Следовательно, площадь треугольника можно представить как:

Площадь треугольника = 1/2 × Основание × Высота

Использование формулы Герона

Иногда вам не дают высоту напрямую или она трудно вычисляется. В таких случаях формула Герона может быть полезной для нахождения площади треугольника, когда известны длины всех трех сторон.

Если длины сторон треугольника равны a, b и c, тогда площадь A можно найти следующим образом:

s = (a + b + c) / 2
Площадь = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

Рассмотрим конкретный пример с использованием формулы Герона. Допустим, есть треугольник со сторонами a = 5, b = 6 и c = 7. Сначала рассчитаем s:

s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9

Затем рассчитаем площадь:

Площадь = √(9 * (9 - 5) * (9 - 6) * (9 - 7))
Площадь = √(9 * 4 * 3 * 2)
Площадь = √(216)
Площадь ≈ 14.7

Заключение

Понимание доказательств этих теорем о площадях укрепляет ваше понимание геометрии. Знание того, как формулы площади для параллелограммов и треугольников выведены из фундаментальных геометрических принципов, позволяет серьезно применять эти концепции. Независимо от использования зависимости основание-высота или применения формулы Герона, эти доказательства предоставляют прочную основу для расчета площади этих обычных фигур.

комментарии