Provas de teoria do campo

Neste artigo, exploraremos as provas de teoremas de área, especialmente ao lidar com paralelogramos e triângulos. Compreender essas provas aprimorará sua compreensão da geometria e das propriedades que regem essas formas. Veremos como suas áreas são calculadas e a lógica por trás desses cálculos.

Área do paralelogramo

Um paralelogramo é uma forma de quatro lados na qual os lados opostos são paralelos e de comprimento igual. Para encontrar sua área, a seguinte fórmula é usada:

Área = Base × Altura

Aqui, "base" refere-se ao comprimento do lado inferior do paralelogramo, e "altura" refere-se à distância perpendicular entre a base e o lado oposto. Vamos ver a prova de por que essa fórmula funciona.

Exemplo visual

Considere o paralelogramo padrão dado abaixo:

Provando a fórmula da área

Para entender isso melhor, considere cortar um paralelogramo ao longo de uma de suas diagonais para formar dois triângulos. Esses dois triângulos são semelhantes - eles têm exatamente o mesmo tamanho e forma. Essa similaridade nos ajuda a entender que a área do paralelogramo pode ser vista como a soma das áreas desses dois triângulos.

Vamos mover um desses triângulos para formar um retângulo em que a base e a altura do paralelogramo permanecem inalteradas. Retângulos têm uma fórmula de área simples: Área = Comprimento × Largura. No retângulo reconfigurado, a base do paralelogramo serve como o comprimento, e a altura do paralelogramo torna-se a largura. Assim, a fórmula Área = Base × Altura emerge naturalmente e é provada ao reconfigurar a figura.

Área de um triângulo

Um triângulo é um polígono com três lados. A fórmula para encontrar a área de um triângulo é diferente da fórmula para encontrar a área de um paralelogramo. A área de um triângulo é dada pela fórmula:

Área = 1/2 × Base × Altura

Exemplo visual

Considere um triângulo como mostrado abaixo:

Provando a fórmula da área

A fórmula para a área de um triângulo pode ser derivada comparando-a à área de um paralelogramo. Considere um triângulo com base b e altura h. Se você criar um segundo triângulo semelhante e conectá-lo ao primeiro, eles formam um paralelogramo. A área deste paralelogramo será Base × Altura, que é b × h.

Uma vez que a figura original era apenas um triângulo, a área do triângulo é exatamente metade da área do paralelogramo. Portanto, a área do triângulo pode ser representada como:

Área do Triângulo = 1/2 × Base × Altura

Uso da fórmula de Heron

Às vezes, você não recebe a altura diretamente, ou é incômodo calculá-la. Nesses casos, a fórmula de Heron pode ser útil para encontrar a área de um triângulo quando você conhece os comprimentos de todos os três lados.

Se os comprimentos dos lados de um triângulo forem a, b e c, então a área A pode ser encontrada da seguinte forma:

s = (a + b + c) / 2
Área = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

Vamos considerar um exemplo explícito usando a fórmula de Heron. Digamos que exista um triângulo com comprimentos de lado a = 5, b = 6 e c = 7. Primeiro, calcule s:

s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9

Então, calcule a área:

Área = √(9 * (9 - 5) * (9 - 6) * (9 - 7))
Área = √(9 * 4 * 3 * 2)
Área = √(216)
Área ≈ 14,7

Conclusão

Compreender as provas por trás desses teoremas de área fortalece sua compreensão da geometria. Saber como as fórmulas de área para paralelogramos e triângulos são derivadas de princípios geométricos fundamentais permite que você aplique seriamente esses conceitos. Seja usando a relação base-altura ou aplicando a fórmula de Heron, essas provas fornecem uma estrutura sólida para calcular a área dessas formas comuns.

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