फील्ड थ्योरी के प्रमाण

इस लेख में, हम क्षेत्र के थ्योरम के प्रमाणों का अन्वेषण करेंगे, खासकर जब पैरेललोग्राम और त्रिभुजों के साथ काम कर रहे हों। इन प्रमाणों को समझना आपकी ज्यामिति की समझ और इन आकृतियों को संचालित करने वाले गुणों को बढ़ाएगा। हम देखेंगे कि उनके क्षेत्रों की गणना कैसे की जाती है और इन गणनाओं के पीछे का तर्क क्या है।

पैरेललोग्राम का क्षेत्रफल

एक पैरेललोग्राम एक चार-पक्षीय आकार होता है जिसमें विपरीत पक्ष समानांतर और लंबाई में समान होते हैं। इसका क्षेत्रफल खोजने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:

क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई

यहां, "आधार" से तात्पर्य पैरेललोग्राम की निचली साइड की लंबाई से है, और "ऊँचाई" से तात्पर्य आधार और विपरीत पक्ष के बीच की लंबवत दूरी से है। आइए देखें कि यह सूत्र क्यों काम करता है इसका प्रमाण।

दृश्य उदाहरण

नीचे दिया गया मानक पैरेललोग्राम देखें:

क्षेत्रफल सूत्र का प्रमाण

इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, पैरेललोग्राम को उसके एक विकर्ण के साथ काटकर दो त्रिभुज बनाएं। ये दो त्रिभुज समान होते हैं - उनका आकार और आकार बिल्कुल समान होता है। यह समानता हमें यह समझने में मदद करती है कि पैरेललोग्राम का क्षेत्र इन दो त्रिभुजों के क्षेत्रों का योग माना जा सकता है।

इन त्रिभुजों में से एक को खिसकाकर एक आयताकार बनाएं जिसमें पैरेललोग्राम का आधार और ऊँचाई अपरिवर्तित रहती हैं। आयताकार का एक सरल क्षेत्रफल सूत्र होता है: क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई. पुनर्व्यवस्थित आयताकार में, पैरेललोग्राम का आधार लंबाई के रूप में कार्य करता है, और पैरेललोग्राम की ऊँचाई चौड़ाई बन जाती है। इस प्रकार, सूत्र क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई स्वाभाविक रूप से उभरता है और आकृति को पुनर्व्यवस्थित करके सिद्ध होता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल

एक त्रिभुज एक बहुभुज है जिसमें तीन भुजाएँ होती हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल खोजने का सूत्र पैरेललोग्राम के क्षेत्रफल के सूत्र से भिन्न होता है। त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

दृश्य उदाहरण

निम्नलिखित त्रिभुज को देखें:

क्षेत्रफल सूत्र का सिद्ध रूप

त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र पैरेललोग्राम के क्षेत्रफल से तुलना करके निकाला जा सकता है। एक त्रिभुज का आधार b और ऊँचाई h मानें। यदि आप एक दूसरा समान त्रिभुज बनाते हैं और इसे पहले के साथ जोड़ते हैं, तो वे एक पैरेललोग्राम बनाते हैं। इस पैरेललोग्राम का क्षेत्रफल आधार × ऊँचाई होगा, अर्थात b × h।

चूंकि मूल आकृति सिर्फ एक त्रिभुज थी, त्रिभुज का क्षेत्रफल वास्तव में पैरेललोग्राम के क्षेत्रफल का आधा है। इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न प्रकार से दर्शाया जा सकता है:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

हेरॉन के सूत्र का उपयोग

कभी-कभी, आपको ऊँचाई सीधे नहीं दी जाती है, या इसे गणना करना कठिन होता है। ऐसे मामलों में, हेरॉन का सूत्र सभी तीन भुजाओं की लंबाई को जानते हुए त्रिभुज का क्षेत्रफल खोजने के लिए उपयोगी हो सकता है।

यदि त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई a, b और c हैं, तो क्षेत्रफल A निम्नलिखित रूप में पाया जा सकता है:

s = (a + b + c) / 2
क्षेत्रफल = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

हेरॉन के सूत्र का एक स्पष्ट उदाहरण देखें। मान लें कि एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई a = 5, b = 6 और c = 7 है। पहले s की गणना करें:

s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9

फिर, क्षेत्रफल की गणना करें:

क्षेत्रफल = √(9 * (9 - 5) * (9 - 6) * (9 - 7))
क्षेत्रफल = √(9 * 4 * 3 * 2)
क्षेत्रफल = √(216)
क्षेत्रफल ≈ 14.7

निष्कर्ष

इन क्षेत्र के थ्योरम के पीछे मौजूद प्रमाणों को समझना आपकी ज्यामिति की समझ को मजबूत करता है। यह जानना कि कैसे पैरेललोग्राम और त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र मौलिक ज्यामितीय सिद्धांतों से व्युत्पन्न होते हैं, आपको इन अवधारणाओं को गंभीरता से लागू करने की अनुमति देता है। चाहे आधार-ऊँचाई संबंध का उपयोग करना हो या हेरॉन का सूत्र लागू करना हो, ये प्रमाण इन सामान्य आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना के लिए एक मजबूत ढांचा प्रदान करते हैं।

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