Pruebas de la teoría de campos

En este artículo, exploraremos las pruebas de los teoremas de área, especialmente al tratar con paralelogramos y triángulos. Comprender estas pruebas mejorará tu comprensión de la geometría y las propiedades que rigen estas formas. Veremos cómo se calculan sus áreas y la lógica detrás de estos cálculos.

Área del paralelogramo

Un paralelogramo es una figura de cuatro lados en la que los lados opuestos son paralelos e iguales en longitud. Para encontrar su área, se utiliza la siguiente fórmula:

Área = Base × Altura

Aquí, "base" se refiere a la longitud del lado inferior del paralelogramo, y "altura" se refiere a la distancia perpendicular entre la base y el lado opuesto. Veamos la prueba de por qué funciona esta fórmula.

Ejemplo visual

Considera el paralelogramo estándar dado a continuación:

Demostración de la fórmula del área

Para entender esto mejor, considera cortar un paralelogramo a lo largo de una de sus diagonales para formar dos triángulos. Estos dos triángulos son similares: tienen exactamente el mismo tamaño y forma. Esta similitud nos ayuda a entender que el área del paralelogramo puede considerarse como la suma de las áreas de estos dos triángulos.

Desplacemos uno de estos triángulos para formar un rectángulo en el que la base y la altura del paralelogramo se mantienen sin cambios. Los rectángulos tienen una fórmula de área sencilla: Área = Largo × Ancho. En el rectángulo reorganizado, la base del paralelogramo funciona como el largo, y la altura del paralelogramo se convierte en el ancho. Por lo tanto, la fórmula Área = Base × Altura surge naturalmente y se demuestra al reorganizar la figura.

Área de un triángulo

Un triángulo es un polígono con tres lados. La fórmula para encontrar el área de un triángulo es diferente de la fórmula para encontrar el área de un paralelogramo. El área de un triángulo se da por la fórmula:

Área = 1/2 × Base × Altura

Ejemplo visual

Considera un triángulo como se muestra a continuación:

Demostración de la fórmula del área

La fórmula para el área de un triángulo puede derivarse comparándola con el área de un paralelogramo. Considera un triángulo con base b y altura h. Si creas un segundo triángulo similar y lo conectas con el primero, forman un paralelogramo. El área de este paralelogramo será Base × Altura, que es b × h.

Dado que la figura original era solo un triángulo, el área del triángulo es exactamente la mitad del área del paralelogramo. Por lo tanto, el área del triángulo puede representarse como:

Área del Triángulo = 1/2 × Base × Altura

Uso de la fórmula de Herón

A veces, no se te da la altura directamente, o es engorroso calcularla. En tales casos, la fórmula de Herón puede ser útil para encontrar el área de un triángulo cuando conoces la longitud de los tres lados.

Si las longitudes de los lados de un triángulo son a, b y c, entonces el área A puede encontrarse de la siguiente manera:

s = (a + b + c) / 2
Área = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

Consideremos un ejemplo explícito utilizando la fórmula de Herón. Digamos que hay un triángulo con lados de longitud a = 5, b = 6 y c = 7. Primero calcula s:

s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9

Luego, calcula el área:

Área = √(9 * (9 - 5) * (9 - 6) * (9 - 7))
Área = √(9 * 4 * 3 * 2)
Área = √(216)
Área ≈ 14.7

Conclusión

Comprender las pruebas detrás de estos teoremas de área fortalece tu comprensión de la geometría. Saber cómo se derivan las fórmulas de área para paralelogramos y triángulos a partir de principios geométricos fundamentales te permite aplicar seriamente estos conceptos. Ya sea utilizando la relación base-altura o aplicando la fórmula de Herón, estas pruebas proporcionan un marco sólido para calcular el área de estas formas comunes.

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