9º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Compreendendo os números reais  1.2. Números racionais  1.3. Números irracionais  1.4. Propriedades dos números reais  1.5. Leis dos expoentes e radicais  1.6. Representação na reta numérica  1.7. Representação decimal de números reais
  2. Polinômios  2.1. Definição e tipos de polinômios  2.2. Grau de um polinômio  2.3. Zeros de um polinômio  2.4. Introdução ao Teorema do Resto  2.5. Fatoração de Polinômios  2.6. Entendendo identidades algébricas  2.7. Equações polinomiais e raízes
  3. Geometria Analítica  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Desenhando pontos em um plano  3.3. Compreendendo a fórmula de distância na geometria coordenada  3.4. Fórmula de Secção  3.5. Área de um triângulo  3.6. Coordenadas do ponto médio e centróide
  4. Equações lineares em duas variáveis  4.1. Soluções de uma equação linear  4.2. Método gráfico  4.3. Método algébrico para resolver equações lineares em duas variáveis  4.4. Compreendendo as aplicações das equações lineares em duas variáveis  4.5. Introdução às desigualdades lineares em duas variáveis
  5. Introdução à Geometria Euclidiana  5.1. Definições e termos básicos na geometria euclidiana  5.2. Axiomas e postulados  5.3. Teoremas sobre ângulos e linhas  5.4. Propriedades de linhas paralelas  5.5. Construção de triângulos  5.6. Axioma de Congruência
  6. Linhas e ângulos  6.1. Entendendo as relações de pares de ângulos  6.2. Linhas paralelas e linhas transversais  6.3. Propriedades dos ângulos formados por linhas paralelas  6.4. Propriedade da soma dos ângulos de um triângulo  6.5. Tipos de ângulos
  7. Triângulo  7.1. Congruência de triângulos  7.2. Critérios de congruência em triângulos  7.3. Propriedades dos triângulos  7.4. Desigualdades em um triângulo  7.5. Similaridade de triângulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Quadrilátero  8.1. Propriedades dos quadriláteros  8.2. Tipos de quadriláteros  8.3. Teorema do ponto médio em quadriláteros  8.4. Propriedades do paralelogramo  8.5. Propriedades do Trapézio e da Pipa  8.6. Diagonais e suas propriedades
  9. Áreas de paralelogramos e triângulos  9.1. Área do paralelogramo  9.2. Compreendendo a área de um triângulo  9.3. Provas de teoria do campo  9.4. Aplicações da teoria de campo
  10. Compreendendo Círculos  10.1. Definições e termos  10.2. Propriedades do círculo  10.3. Compreendendo as propriedades das cordas nos círculos  10.4. Tangentes a um círculo  10.5. Quadrilátero cíclico  10.6. Compreendendo arcos e ângulos subtendidos em círculos
  11. Construção  11.1. Construção básica  11.2. Construção de bissetriz  11.3. Construção de triângulos  11.4. Construção de tangentes a um círculo  11.5. Construindo ângulos de uma medida dada
  12. Compreendendo a fórmula de Heron  12.1. Área de um triângulo usando a fórmula de Heron  12.2. Usando a fórmula de Herão para vários triângulos e quadriláteros  12.3. Prova da fórmula de Herão
  13. Área de superfície e volume  13.1. Área de superfície do cubo, paralelepípedo e cilindro  13.2. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  13.3. Área da superfície e volume de um cone  13.4. Área de superfície e volume da esfera e hemisfério  13.5. Conversão de unidades  13.6. Volume de um prisma
  14. Figuras  14.1. Coleta de dados  14.2. Apresentação de dados  14.3. Introdução às medidas de tendência central  14.4. Média, mediana e moda  14.5. Representação gráfica de dados  14.6. Extensão e Medição da Dispersão
  15. Compreendendo a Probabilidade  15.1. Introdução à probabilidade  15.2. Probabilidade experimental  15.3. Probabilidade teórica  15.4. Problemas Simples sobre Probabilidade

9º ano ↓


Quadrilátero


Em matemática, particularmente em geometria, um quadrilátero é um polígono com quatro arestas (ou lados) e quatro vértices ou cantos. A palavra literalmente significa "quatro lados" (quadrilátero significa quatro, lado significa lados). Os quadriláteros estão por toda parte no mundo ao nosso redor, desde livros de biblioteca até as mesas e cadeiras que usamos, e são uma parte fundamental do entendimento de como as formas e o espaço funcionam.

Tipos de quadriláteros

Aqui estão os principais tipos de quadriláteros que você pode encontrar:

  • Quadrado: Todos os lados são iguais e cada ângulo é de 90 graus.
  • Retângulo: Lados opostos são iguais e cada ângulo é de 90 graus.
  • Losango: Todos os lados são iguais, mas os ângulos não são de 90 graus.
  • Paralelogramo: Lados opostos são iguais, mas os ângulos não são de 90 graus.
  • Trapézio: Nele, apenas um par de lados opostos são paralelos.
  • Pipa: Dois pares de lados adjacentes são iguais.

Propriedades dos quadriláteros

Cada tipo de quadrilátero tem propriedades específicas:

  • Classe social:
    • Todos os quatro lados são iguais em comprimento.
    • Cada um dos quatro ângulos é um ângulo reto (90°).
    • As diagonais são iguais em comprimento e se cruzam em ângulos retos.

    Matematicamente:

                    Comprimento do lado = a
                Perímetro = 4a
                Área = a 2
    Classe social

  • Retangular:
    • Os lados opostos são iguais.
    • Cada ângulo é de 90°.
    • As diagonais são iguais.

    Matematicamente:

                    Comprimento = l, Largura = w
                Perímetro = 2(l + w)
                Área = lw
    retângulo

  • Losango:
    • Todos os lados têm o mesmo comprimento.
    • Ângulos opostos são iguais.
    • As diagonais se cruzam em ângulos retos.

    Matematicamente:

                    Comprimento do lado = a
                Perímetro = 4a
                Área = (d1 * d2) / 2
    (onde d1 e d2 são os comprimentos das diagonais) losango

  • Paralelogramo:
    • Os lados opostos são iguais e paralelos.
    • Ângulos opostos são iguais.
    • As diagonais se cruzam.

    Matematicamente:

                    Base = b, Altura = h
                Perímetro = 2(a + b)
                Área = b * h
    Quadrilátero

  • Trapézio:
    • Apenas um par de lados são paralelos.

    Matematicamente:

                    a(base superior), b(base inferior), h(altura)
                Área = ((a + b) / 2) * h
    Quadrilátero

  • Pipas:
    • Dois pares de lados adjacentes são iguais.
    • Um par de ângulos opostos são iguais.
    • Diagonais se cortam em ângulos retos, com uma bissectando a outra.

    Matematicamente:

                    Área = (d1 * d2) / 2
    (onde d1 e d2 são os comprimentos das diagonais) Pipa

Compreendendo os ângulos do quadrilátero

Em qualquer quadrilátero, a soma dos ângulos internos é sempre 360 graus. Esta propriedade é verdadeira independentemente do tipo de quadrilátero com o qual você está lidando. Esta é uma propriedade muito útil ao resolver problemas, pois se você conhece três ângulos, pode facilmente encontrar o quarto subtraindo a soma dos ângulos conhecidos de 360 graus.

Por exemplo, suponha que você conheça três ângulos de um quadrilátero: 80°, 90° e 85°. Você pode encontrar o quarto ângulo assim:

        Quarto ângulo = 360° - (80° + 90° + 85°) = 105°

Resolvendo problemas envolvendo quadriláteros

Compreender essas propriedades ajuda a resolver vários problemas de geometria. Aqui estão alguns exemplos de como os quadriláteros podem ser encontrados na resolução de problemas:

Exemplo 1: Encontrar o ângulo em um paralelogramo

Dado que um ângulo em um paralelogramo é de 70°, encontre a medida de todos os outros ângulos.

Solução: Como em um paralelogramo os ângulos opostos são iguais e os ângulos consecutivos são suplementares, pode-se calcular da seguinte forma:

        Sejam os ângulos A, B, A, B (já que os ângulos opostos são iguais).
        Dado: A = 70°
        
        Como os ângulos consecutivos são suplementares:
        a + b = 180°
        70° + b = 180°
        b = 110°
        
        Assim, os ângulos do paralelogramo são 70°, 110°, 70°, 110°.

Exemplo 2: Área de um trapézio

Encontre a área de um trapézio com bases de 8 cm e 5 cm e altura de 4 cm.

Solução: Use a fórmula para a área de um trapézio:

        Área = ((base1 + base2) / 2) * altura
        Área = ((8 cm + 5 cm) / 2) * 4 cm
        Área = (13 cm / 2) * 4 cm
        Área = 26 cm²

Exemplo 3: Diagonal em um retângulo

Dado um retângulo cujo comprimento é 6 cm e largura é 8 cm, encontre o comprimento da diagonal.

Solução: Use o teorema de Pitágoras, pois a diagonal forma um triângulo retângulo com os lados:

        Diagonal² = Comprimento² + Largura²
        Diagonal² = 6² + 8²
        Diagonal² = 36 + 64
        Diagonal² = 100
        Diagonal = √100
        Diagonal = 10 cm

Aplicações dos quadriláteros

Os quadriláteros não são apenas conceitos abstratos; eles têm aplicações práticas em várias áreas:

  • Arquitetura: A maioria dos edifícios e estruturas são projetados usando os princípios dos quadriláteros devido à sua estabilidade e equilíbrio.
  • Arte e Design: Artistas usam quadriláteros para criar padrões e estruturas em seu trabalho, fornecendo equilíbrio e unidade.
  • Engenharia: Formas de trapézio são usadas em uma variedade de máquinas e dispositivos para fornecer integridade estrutural e equilíbrio.

Resumo

Os quadriláteros são uma parte fundamental da geometria, com suas formas de quatro lados desempenhando um papel importante em aplicações teóricas e práticas. Conhecer suas propriedades e trabalhar com elas fornece uma base sólida e um entendimento dos princípios geométricos, auxiliando no desenvolvimento de habilidades de resolução de problemas que vão muito além da matemática.


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