9º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Compreendendo os números reais  1.2. Números racionais  1.3. Números irracionais  1.4. Propriedades dos números reais  1.5. Leis dos expoentes e radicais  1.6. Representação na reta numérica  1.7. Representação decimal de números reais
  2. Polinômios  2.1. Definição e tipos de polinômios  2.2. Grau de um polinômio  2.3. Zeros de um polinômio  2.4. Introdução ao Teorema do Resto  2.5. Fatoração de Polinômios  2.6. Entendendo identidades algébricas  2.7. Equações polinomiais e raízes
  3. Geometria Analítica  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Desenhando pontos em um plano  3.3. Compreendendo a fórmula de distância na geometria coordenada  3.4. Fórmula de Secção  3.5. Área de um triângulo  3.6. Coordenadas do ponto médio e centróide
  4. Equações lineares em duas variáveis  4.1. Soluções de uma equação linear  4.2. Método gráfico  4.3. Método algébrico para resolver equações lineares em duas variáveis  4.4. Compreendendo as aplicações das equações lineares em duas variáveis  4.5. Introdução às desigualdades lineares em duas variáveis
  5. Introdução à Geometria Euclidiana  5.1. Definições e termos básicos na geometria euclidiana  5.2. Axiomas e postulados  5.3. Teoremas sobre ângulos e linhas  5.4. Propriedades de linhas paralelas  5.5. Construção de triângulos  5.6. Axioma de Congruência
  6. Linhas e ângulos  6.1. Entendendo as relações de pares de ângulos  6.2. Linhas paralelas e linhas transversais  6.3. Propriedades dos ângulos formados por linhas paralelas  6.4. Propriedade da soma dos ângulos de um triângulo  6.5. Tipos de ângulos
  7. Triângulo  7.1. Congruência de triângulos  7.2. Critérios de congruência em triângulos  7.3. Propriedades dos triângulos  7.4. Desigualdades em um triângulo  7.5. Similaridade de triângulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Quadrilátero  8.1. Propriedades dos quadriláteros  8.2. Tipos de quadriláteros  8.3. Teorema do ponto médio em quadriláteros  8.4. Propriedades do paralelogramo  8.5. Propriedades do Trapézio e da Pipa  8.6. Diagonais e suas propriedades
  9. Áreas de paralelogramos e triângulos  9.1. Área do paralelogramo  9.2. Compreendendo a área de um triângulo  9.3. Provas de teoria do campo  9.4. Aplicações da teoria de campo
  10. Compreendendo Círculos  10.1. Definições e termos  10.2. Propriedades do círculo  10.3. Compreendendo as propriedades das cordas nos círculos  10.4. Tangentes a um círculo  10.5. Quadrilátero cíclico  10.6. Compreendendo arcos e ângulos subtendidos em círculos
  11. Construção  11.1. Construção básica  11.2. Construção de bissetriz  11.3. Construção de triângulos  11.4. Construção de tangentes a um círculo  11.5. Construindo ângulos de uma medida dada
  12. Compreendendo a fórmula de Heron  12.1. Área de um triângulo usando a fórmula de Heron  12.2. Usando a fórmula de Herão para vários triângulos e quadriláteros  12.3. Prova da fórmula de Herão
  13. Área de superfície e volume  13.1. Área de superfície do cubo, paralelepípedo e cilindro  13.2. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  13.3. Área da superfície e volume de um cone  13.4. Área de superfície e volume da esfera e hemisfério  13.5. Conversão de unidades  13.6. Volume de um prisma
  14. Figuras  14.1. Coleta de dados  14.2. Apresentação de dados  14.3. Introdução às medidas de tendência central  14.4. Média, mediana e moda  14.5. Representação gráfica de dados  14.6. Extensão e Medição da Dispersão
  15. Compreendendo a Probabilidade  15.1. Introdução à probabilidade  15.2. Probabilidade experimental  15.3. Probabilidade teórica  15.4. Problemas Simples sobre Probabilidade

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Propriedades do paralelogramo


Um paralelogramo é um tipo especial de quadrilátero, um polígono com quatro lados. Entender as propriedades de um paralelogramo ajudará você a compreender um conceito fundamental da geometria que é frequentemente usado na matemática para uma variedade de problemas e provas. Um paralelogramo é definido por lados opostos que não são apenas iguais em comprimento, mas também paralelos entre si.

Definição básica de um paralelogramo

Um paralelogramo é uma forma de quatro lados (ou quadrilátero) onde ambos os pares de lados opostos são paralelos. A definição de lados paralelos é que são linhas que nunca se encontram ou se cruzam, não importa o quanto você as estenda. Para representar um paralelogramo, podemos escrevê-lo com o símbolo de paralelogramo (//). Se o nome do paralelogramo for ABCD, você pode escrevê-lo como ABCD ou //ABCD.

    //ABCD mostra que ABCD é um paralelogramo

Propriedades do paralelogramo

1. Lados opostos são iguais

Uma das propriedades mais básicas de um paralelogramo é que cada par de lados opostos é igual em comprimento. Para um paralelogramo //ABCD, isso significa que:

    BC = DA

2. Ângulos opostos são iguais

Outra propriedade importante é que ângulos opostos em um paralelogramo são iguais. Isso significa que se você olhar para os ângulos de um paralelogramo //ABCD:

    ∠A = ∠C e ∠B = ∠D

3. Ângulos consecutivos são complementares

Qualquer dois ângulos consecutivos em um paralelogramo são complementares. Isso significa que a soma de suas medidas é de 180 graus. Por exemplo:

    ∠A + ∠B = 180°
    ∠b + ∠c = 180°
    ∠C + ∠D = 180°
    ∠D + ∠A = 180°

4. Diagonais se bissetam

As diagonais de um paralelogramo se bissetam, o que significa que se cortam exatamente pela metade. Portanto, se AC e BD são as diagonais de um paralelogramo //ABCD, então:

    AO = OC e BO = OD

Exemplo visual

Considere a ilustração visual abaixo:

A B C D

Aqui, o paralelogramo ABCD tem os lados AB paralelos a CD, e BC paralelo a DA. As diagonais AC e BD se bissetam.

Fórmulas relacionadas ao paralelogramo

Área

A área de um paralelogramo pode ser calculada usando a seguinte fórmula:

    Área = base × altura

No contexto de um paralelogramo //ABCD, se AB for considerado como base e a altitude perpendicular de C a AB for considerada como a altitude, então essa fórmula ajuda a determinar quanto espaço o paralelogramo cobre.

Circunferência

O perímetro de um paralelogramo pode ser encontrado usando a seguinte fórmula:

    Perímetro = 2 × (base + lado)

Usando o paralelogramo //ABCD, se AB for a base e BC for o lado, então o perímetro é duas vezes a soma dos comprimentos da base e do lado.

Exemplo de texto

Exemplo 1

Vamos considerar o paralelogramo //PQRS com os lados PQ = 8 cm, QR = 5 cm, e altura = 4 cm. Encontre a área.

    Área = base × altura = PQ × altura = 8 cm × 4 cm = 32 cm²

Exemplo 2

No paralelogramo //MNOP, se MN = 12 cm e NO = 7 cm, então encontre o perímetro.

    Perímetro = 2 × (base + lado) = 2 × (12 cm + 7 cm) = 2 × 19 cm = 38 cm

Exemplo 3

Qual é o comprimento da diagonal OE no paralelogramo //EFGH se EG bissetar FH, e FH = 20 cm?

    Como as diagonais se bissetam, GE = GF = 20 cm / 2 = 10 cm

Ideias avançadas

1. Propriedades na geometria coordenada

Na geometria coordenada, um paralelogramo também pode ser entendido através das coordenadas de seus vértices. Por exemplo, suponha que temos um paralelogramo com vértices A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), C(x 3, y 3), e D(x 4, y 4).

A fórmula do ponto médio para cada diagonal ter o mesmo ponto médio pode ser declarada como:

    ((x 1 + x 3) / 2, (y 1 + y 3) / 2) = ((x 2 + x 4) / 2, (y 2 + y 4) / 2)

Esta equação deve ser verdadeira para as diagonais em um paralelogramo para se bissetar.

Compreendendo essas propriedades, podemos resolver uma infinidade de problemas relacionados à geometria, física e outras aplicações do mundo real.

Conclusão

Os paralelogramos desempenham um papel vital na geometria. Suas propriedades fornecem informações valiosas que se tornam extremamente úteis para resolver problemas geométricos complexos. Ao dominar este conceito fundamental, você está lançando as bases para uma exploração mais avançada no campo da matemática. Com prática suficiente usando tanto o conhecimento conceitual quanto as aplicações do mundo real, lidar com problemas relacionados a paralelogramos se torna muito mais gerenciável.


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