Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Propiedades de un paralelogramo


Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero, un polígono con cuatro lados. Comprender las propiedades de un paralelogramo te ayudará a entender un concepto fundamental de la geometría que se utiliza a menudo en matemáticas para una variedad de problemas y demostraciones. Un paralelogramo se define por lados opuestos que no solo son iguales en longitud, sino que también son paralelos entre sí.

Definición básica de un paralelogramo

Un paralelogramo es una forma de cuatro lados (o cuadrilátero) donde ambos pares de lados opuestos son paralelos. La definición de lados paralelos es que son líneas que nunca se encuentran o se cruzan, sin importar cuánto las extiendas. Para representar un paralelogramo, podemos escribirlo con el símbolo de paralelogramo (//). Si el nombre del paralelogramo es ABCD, puedes escribirlo como ABCD o //ABCD.

    //ABCD muestra que ABCD es un paralelogramo

Propiedades del paralelogramo

1. Los lados opuestos son iguales

Una de las propiedades más básicas de un paralelogramo es que cada par de lados opuestos es igual en longitud. Para un paralelogramo //ABCD, esto significa que:

    BC = DA

2. Los ángulos opuestos son iguales

Otra propiedad importante es que los ángulos opuestos en un paralelogramo son iguales. Esto significa que si miras los ángulos de un paralelogramo //ABCD:

    ∠A = ∠C y ∠B = ∠D

3. Los ángulos consecutivos son complementarios

Cualquier par de ángulos consecutivos en un paralelogramo son complementarios. Esto significa que la suma de sus medidas es de 180 grados. Por ejemplo:

    ∠A + ∠B = 180°
    ∠b + ∠c = 180°
    ∠C + ∠D = 180°
    ∠D + ∠A = 180°

4. Las diagonales se bisecan mutuamente

Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente, lo que significa que se cortan exactamente a la mitad. Entonces, si AC y BD son las diagonales de un paralelogramo //ABCD, entonces:

    AO = OC y BO = OD

Ejemplo visual

Considera la ilustración visual a continuación:

A B C D

Aquí, el paralelogramo ABCD tiene los lados AB paralelos a CD y BC paralelos a DA. Las diagonales AC y BD se bisecan mutuamente.

Fórmulas relacionadas con el paralelogramo

Área

El área de un paralelogramo se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

    Área = base × altura

En el contexto de un paralelogramo //ABCD, si AB se considera como la base y la altura perpendicular desde C a AB se considera como la altura, entonces esta fórmula ayuda a determinar cuánto espacio cubre el paralelogramo.

Circunferencia

El perímetro de un paralelogramo se puede encontrar usando la siguiente fórmula:

    Perímetro = 2 × (base + lado)

Usando el paralelogramo //ABCD, si AB es la base y BC es el lado, entonces el perímetro es el doble de la suma de las longitudes de la base y el lado.

Ejemplo de texto

Ejemplo 1

Que el paralelogramo //PQRS tenga los lados PQ = 8 cm, QR = 5 cm, y altura = 4 cm. Encuentra el área.

    Área = base × altura = PQ × altura = 8 cm × 4 cm = 32 cm²

Ejemplo 2

En el paralelogramo //MNOP, si MN = 12 cm y NO = 7 cm, entonces encuentra el perímetro.

    Perímetro = 2 × (base + lado) = 2 × (12 cm + 7 cm) = 2 × 19 cm = 38 cm

Ejemplo 3

¿Cuál es la longitud de la diagonal OE en el paralelogramo //EFGH si EG biseca FH, y FH = 20 cm?

    Dado que las diagonales se bisecan mutuamente, GE = GF = 20 cm / 2 = 10 cm

Ideas avanzadas

1. Propiedades en geometría coordinada

En la geometría coordinada, un paralelogramo también se puede entender a través de las coordenadas de sus vértices. Por ejemplo, supongamos que tenemos un paralelogramo con vértices A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), C(x 3, y 3) y D(x 4, y 4).

La fórmula del punto medio para cada diagonal teniendo el mismo punto medio se puede expresar como:

    ((x 1 + x 3) / 2, (y 1 + y 3) / 2) = ((x 2 + x 4) / 2, (y 2 + y 4) / 2)

Esta ecuación debe ser verdadera para que las diagonales en un paralelogramo se bisecan mutuamente.

Al comprender estas propiedades, podemos resolver una multitud de problemas relacionados con la geometría, la física y otras aplicaciones en el mundo real.

Conclusión

Los paralelogramos desempeñan un papel vital en la geometría. Sus propiedades proporcionan información valiosa que se vuelve extremadamente útil para resolver problemas geométricos complejos. Al dominar este concepto fundamental, estás sentando las bases para una exploración más avanzada en el campo de las matemáticas. Con suficiente práctica utilizando tanto el conocimiento conceptual como aplicaciones en la vida real, manejar problemas relacionados con paralelogramos se vuelve mucho más manejable.


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