9º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Compreendendo os números reais  1.2. Números racionais  1.3. Números irracionais  1.4. Propriedades dos números reais  1.5. Leis dos expoentes e radicais  1.6. Representação na reta numérica  1.7. Representação decimal de números reais
  2. Polinômios  2.1. Definição e tipos de polinômios  2.2. Grau de um polinômio  2.3. Zeros de um polinômio  2.4. Introdução ao Teorema do Resto  2.5. Fatoração de Polinômios  2.6. Entendendo identidades algébricas  2.7. Equações polinomiais e raízes
  3. Geometria Analítica  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Desenhando pontos em um plano  3.3. Compreendendo a fórmula de distância na geometria coordenada  3.4. Fórmula de Secção  3.5. Área de um triângulo  3.6. Coordenadas do ponto médio e centróide
  4. Equações lineares em duas variáveis  4.1. Soluções de uma equação linear  4.2. Método gráfico  4.3. Método algébrico para resolver equações lineares em duas variáveis  4.4. Compreendendo as aplicações das equações lineares em duas variáveis  4.5. Introdução às desigualdades lineares em duas variáveis
  5. Introdução à Geometria Euclidiana  5.1. Definições e termos básicos na geometria euclidiana  5.2. Axiomas e postulados  5.3. Teoremas sobre ângulos e linhas  5.4. Propriedades de linhas paralelas  5.5. Construção de triângulos  5.6. Axioma de Congruência
  6. Linhas e ângulos  6.1. Entendendo as relações de pares de ângulos  6.2. Linhas paralelas e linhas transversais  6.3. Propriedades dos ângulos formados por linhas paralelas  6.4. Propriedade da soma dos ângulos de um triângulo  6.5. Tipos de ângulos
  7. Triângulo  7.1. Congruência de triângulos  7.2. Critérios de congruência em triângulos  7.3. Propriedades dos triângulos  7.4. Desigualdades em um triângulo  7.5. Similaridade de triângulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Quadrilátero  8.1. Propriedades dos quadriláteros  8.2. Tipos de quadriláteros  8.3. Teorema do ponto médio em quadriláteros  8.4. Propriedades do paralelogramo  8.5. Propriedades do Trapézio e da Pipa  8.6. Diagonais e suas propriedades
  9. Áreas de paralelogramos e triângulos  9.1. Área do paralelogramo  9.2. Compreendendo a área de um triângulo  9.3. Provas de teoria do campo  9.4. Aplicações da teoria de campo
  10. Compreendendo Círculos  10.1. Definições e termos  10.2. Propriedades do círculo  10.3. Compreendendo as propriedades das cordas nos círculos  10.4. Tangentes a um círculo  10.5. Quadrilátero cíclico  10.6. Compreendendo arcos e ângulos subtendidos em círculos
  11. Construção  11.1. Construção básica  11.2. Construção de bissetriz  11.3. Construção de triângulos  11.4. Construção de tangentes a um círculo  11.5. Construindo ângulos de uma medida dada
  12. Compreendendo a fórmula de Heron  12.1. Área de um triângulo usando a fórmula de Heron  12.2. Usando a fórmula de Herão para vários triângulos e quadriláteros  12.3. Prova da fórmula de Herão
  13. Área de superfície e volume  13.1. Área de superfície do cubo, paralelepípedo e cilindro  13.2. Volume de um cubo, paralelepípedo e cilindro  13.3. Área da superfície e volume de um cone  13.4. Área de superfície e volume da esfera e hemisfério  13.5. Conversão de unidades  13.6. Volume de um prisma
  14. Figuras  14.1. Coleta de dados  14.2. Apresentação de dados  14.3. Introdução às medidas de tendência central  14.4. Média, mediana e moda  14.5. Representação gráfica de dados  14.6. Extensão e Medição da Dispersão
  15. Compreendendo a Probabilidade  15.1. Introdução à probabilidade  15.2. Probabilidade experimental  15.3. Probabilidade teórica  15.4. Problemas Simples sobre Probabilidade

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Propriedades dos quadriláteros


Um quadrilátero é um polígono com quatro arestas (ou lados) e quatro cantos ou vértices. Seu nome vem de "quad" que significa quatro, e "lateral" que significa lados. Nesta seção, exploraremos os diferentes tipos de quadriláteros e suas propriedades.

Os quadriláteros podem ser divididos em diferentes categorias com base em seus lados e ângulos. Os principais tipos de quadriláteros são:

  1. Quadrilátero
  2. Retângulo
  3. Classe social
  4. Losango
  5. Trapézio (ou trapezium em alguns países)
  6. Pipa

Tipos de quadriláteros e suas propriedades

1. Paralelogramo

Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos e iguais em comprimento. Os ângulos opostos são iguais, e a soma dos ângulos consecutivos é de 180 graus.

ABCD

Propriedades do paralelogramo:

  • Os lados opostos são paralelos e de comprimento igual.
  • Os ângulos opostos são iguais.
  • As diagonais se cruzam ao meio.
  • A soma dos ângulos interiores é de 360 graus.
Exemplo: AB = CD, AD = BC Ângulo A = Ângulo C, Ângulo B = Ângulo D

2. Retângulo

Um retângulo é um tipo de paralelogramo, todos cujos ângulos são ângulos retos (90 graus).

ABCD

Propriedades do retângulo:

  • Os lados opostos são iguais e paralelos.
  • Todos os ângulos são de 90 graus.
  • As diagonais são iguais e se cruzam ao meio.
Exemplo: AB = CD, AD = BC Todos os ângulos = 90 graus Diagonais: AC = BD

3. Quadrado

Um quadrado é um tipo especial de retângulo em que todos os lados têm o mesmo comprimento e todos os ângulos são retos.

ABCD

Propriedades do quadrado:

  • Todos os lados são iguais e paralelos.
  • Todos os ângulos são de 90 graus.
  • As diagonais são iguais, se cruzam ao meio e são perpendiculares entre si.
Exemplo: Todos os lados = AB = BC = CD = DA Todos os ângulos = 90 graus Diagonais: AC = BD e AC ⊥ BD

4. Losango

Um losango é um quadrilátero cujos todos os lados são de comprimento igual. Os lados opostos são paralelos, e os ângulos opostos são iguais.

ABCD

Propriedades do losango:

  • Todos os lados são iguais.
  • Os lados opostos são paralelos.
  • Os ângulos opostos são iguais.
  • As diagonais se cruzam em ângulos retos (90 graus).
Exemplo: Todos os lados = AB = BC = CD = DA Ângulos opostos: Ângulo A = Ângulo C, Ângulo B = Ângulo D Diagonais AC ⊥ BD

5. Trapézio

Um trapézio é um quadrilátero no qual pelo menos um par de lados opostos é paralelo.

ABCD

Propriedades do trapézio:

  • Um par de lados opostos é paralelo (estes são chamados de 'bases').
  • Os lados não paralelos são chamados de 'pernas'.
  • Os ângulos na mesma perna são complementares (a soma é de 180 graus).
Exemplo: AB ∥ CD Ângulos: Ângulo A + Ângulo D = 180 graus, Ângulo B + Ângulo C = 180 graus

6. Pipa

Uma pipa é um quadrilátero com dois pares diferentes de lados adjacentes iguais.

ABCD

Propriedades da pipa:

  • Dois pares de lados adjacentes são iguais.
  • Um par de ângulos opostos é igual, que são os ângulos entre os lados desiguais.
  • As diagonais se cruzam em ângulos retos.
  • Uma das diagonais é a linha de simetria.
Exemplo: AB = AD, BC = CD Ângulos opostos: Ângulo A = Ângulo C Diagonais AC ⊥ BD

Propriedades matemáticas dos quadriláteros

Além das definições e propriedades descritas acima, todos os quadriláteros têm algumas propriedades matemáticas comuns:

  • A soma de todos os ângulos internos de qualquer quadrilátero é 360 graus. Pode ser encontrada usando a fórmula (n-2) * 180, onde n é o número de lados. Para um quadrilátero, n = 4.
  • Com base nos lados e ângulos dados, você pode calcular frequentemente as diagonais e a área usando fórmulas específicas que se relacionam a esse quadrilátero.

Calculando a área de quadriláteros

A área de um quadrilátero pode ser calculada de várias maneiras, dependendo do tipo de quadrilátero:

  • Retângulo: Área = comprimento * largura
  • Quadrado: Área = lado * lado ou lado 2
  • Paralelogramo: Área = base * altura
  • Losango: Área = (diagonal 1 * diagonal 2) / 2
  • Trapézio: Área = (base 1 + base 2) * altura / 2
  • Pipa: Área = (diagonal 1 * diagonal 2) / 2
Exemplo para Trapézio: Deixe base 1 = a, base 2 = b, e altura = h Área = (a + b) * h / 2

Problema de exemplo com quadriláteros

Vamos resolver um problema para entender melhor como essas propriedades podem ser aplicadas:

Problema: Encontre a área de uma pipa com diagonais de 8 cm e 6 cm.

Solução:

Dado: Diagonal 1 = 8 cm Diagonal 2 = 6 cm Usando a fórmula de área para uma pipa: Área = (Diagonal 1 * Diagonal 2) / 2 = (8 * 6) / 2 = 48 / 2 = 24 cm 2

Conclusão

Os quadriláteros, como formas geométricas fundamentais, fornecem a base para a compreensão de polígonos mais complexos e o raciocínio espacial em matemática. Familiarizar-se com suas propriedades - como comprimentos de lado, medidas de ângulo, linhas paralelas e diagonais - ajuda a resolver problemas práticos e teóricos. Quer você esteja calculando áreas, desenhando diagramas ou resolvendo problemas de geometria, os quadriláteros oferecem um campo rico de estudo em matemática.

À medida que você continua a explorar essas formas, lembre-se de que dominar propriedades e relações básicas pode tornar a resolução de tarefas mais complexas muito mais fácil. Essa compreensão estabelece a base para aprofundar seu conhecimento matemático e aprimorar suas habilidades de resolução de problemas.


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