Треугольник

Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами. Это одна из самых простых форм в геометрии, обладающая рядом интересных свойств. Слово «треугольник» происходит от латинского языка; «три-» означает три, а «-angulus» означает угол или уголок. Следовательно, треугольник — это фигура, у которой три угла.

Основы треугольников

Прежде чем обсуждать типы, свойства и правила треугольников, давайте разберём основные элементы треугольника.

• Стороны: У треугольника три стороны. Это прямые линии, образующие границы треугольника.
• Вершины: У треугольника три вершины. Вершина — это точка, где встречаются две стороны треугольника.
• Углы: У треугольника три угла. Сумма внутренних углов в треугольнике всегда составляет 180°.

Типы треугольников

Треугольники можно классифицировать по двум критериям:

• По сторонам.
• По углам.

Классификация по сторонам

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник — это треугольник, в котором три стороны равны по длине, и, следовательно, три угла тоже равны, каждый из них составляет 60°.

На рисунке выше треугольник ABC равносторонний, со сторонами AB = BC = CA

Равнобедренный треугольник

В равнобедренном треугольнике две стороны равны по длине и углы, противоположные этим сторонам, тоже равны.

В треугольнике ABC, если AB = AC, то это равнобедренный треугольник, в котором углы ∠ABC и ∠ACB равны.

Разносторонний треугольник

Разносторонний треугольник — это треугольник, в котором все три стороны разной длины. Как следствие, три угла также различны.

На рисунке выше треугольник ABC не имеет равных сторон или углов.

Классификация по углам

Остроугольный треугольник

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три внутренних угла меньше 90°.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол равен точно 90°. Сторона, противоположная прямому углу, является самой длинной стороной и называется гипотенузой.

В треугольнике ABC угол при C равен 90°. Следовательно, AB — это гипотенуза.

Тупоугольный треугольник

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов больше 90°.

На этом рисунке ∠ABC больше 90°, следовательно, ABC является тупоугольным треугольником.

Свойства треугольников

Углы треугольника

Как отмечалось ранее, сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°. Этот факт является основным для понимания треугольников и решения многих задач, связанных с ними.

Пусть углы треугольника обозначены A, B и C. Тогда уравнение имеет вид:

A + B + C = 180°

Теорема о неравенстве треугольника

Теорема о неравенстве треугольника гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. Для треугольника со сторонами, обозначенными a, b и c, неравенства имеют вид:

a + b > c

a + c > b

b + c > a

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора применима к прямоугольным треугольникам. Она гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин других двух сторон. Если гипотенуза c:

c² = a² + b²

Например, в прямоугольном треугольнике:

a = 3, b = 4, c = 5

Теорема Пифагора выражается следующим образом:

5² = 3² + 4²

так:

25 = 9 + 16

25 = 25

Конгруэнтность в треугольниках

Конгруэнтность означает, что два треугольника имеют точно такую же величину и форму. Если два треугольника конгруэнтны, то их соответствующие стороны и углы равны. Существует несколько свойств или критериев для конгруэнтности треугольников.

Критерии конгруэнтности

• SSS (сторона-сторона-сторона): Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.
• SAS (сторона-угол-сторона): Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.
• ASA (угол-сторона-угол): Если два угла и включенная сторона одного треугольника равны двум углам и включенной стороне другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.
• AAS (угол-угол-сторона): Если два угла и несоединенная сторона одного треугольника равны двум углам и соответствующей несоединенной стороне другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.
• RHS (правый угол-гипотенуза-сторона): В прямоугольных треугольниках, если гипотенуза и одна сторона одного треугольника равны гипотенузе и одной стороне другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.

Площадь и периметр треугольников

Периметр

Периметр треугольника — это сумма длин его сторон. Если стороны треугольника обозначены a, b и c, то периметр P вычисляется следующим образом:

P = a + b + c

Площадь

Общая формула для вычисления площади треугольника имеет вид:

Площадь = 0.5 × основание × высота

Если основание — это b, а высота — h, то:

Площадь = 0.5 × b × h

Например, если основание треугольника составляет 10 единиц, а высота — 5 единиц, то площадь составляет:

Площадь = 0.5 × 10 × 5 = 25 квадратных единиц

Формула Герона для вычисления площади

Если стороны треугольника известны, можно использовать формулу Герона для вычисления площади. Согласно формуле Герона:

Сначала вычислите полупериметр s треугольника:

s = (a + b + c) / 2

Тогда площадь A выражается как:

A = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]

Рассмотрим треугольник со сторонами 7, 8 и 9 единиц:

Полупериметр:

s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12

Используя формулу Герона:

A = √[12(12-7)(12-8)(12-9)] = √[12×5×4×3] = √720 ≈ 26.83 квадратных единиц

Медианы треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. У каждого треугольника три медианы, которые пересекаются в точке, называемой центроидом. Центроид делит каждую медиану на две части, одна из которых вдвое длиннее другой.

Заключение

Треугольники — это основные фигуры в геометрии, обладающие уникальными свойствами и характеристиками, делающими их интересными для изучения. Их можно классифицировать по сторонам и углам. От суммы углов 180° до критериев конгруэнтности, теоремы Пифагора в прямоугольных треугольниках и вычисления площади и периметра; треугольники предлагают множество интересных математических задач и применений.

комментарии