Triângulo

Um triângulo é um polígono com três lados. É uma das formas mais simples na geometria e possui algumas propriedades interessantes. A palavra "triângulo" vem do latim; "tri-" significa três e "-angulus" significa canto ou ângulo. Portanto, um triângulo é uma forma que possui três ângulos.

Noções básicas de triângulos

Antes de discutirmos os tipos, propriedades e regras dos triângulos, vamos entender os elementos básicos de um triângulo.

• Lados: Um triângulo tem três lados. Estas são as linhas retas que formam os limites do triângulo.
• Vértices: Um triângulo tem três vértices. Um vértice é o ponto onde dois lados de um triângulo se encontram.
• Ângulos: Um triângulo tem três ângulos. A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°.

Tipos de triângulos

Os triângulos podem ser classificados com base em dois critérios:

• Em seus lados.
• Por seus ângulos.

Classificação com base nos lados

Triângulo equilátero

Um triângulo equilátero é aquele no qual os três lados são iguais em comprimento e, consequentemente, os três ângulos também são iguais, medindo cada um 60°.

Na figura acima, o triângulo ABC é equilátero com lados AB = BC = CA

Triângulo isósceles

Num triângulo isósceles, dois lados têm o mesmo comprimento e os ângulos opostos a estes lados também são iguais.

No triângulo ABC, se AB = AC, então é um triângulo isósceles em que os ângulos ∠ABC e ∠ACB são iguais.

Triângulo escaleno

Um triângulo escaleno é aquele em que os três lados têm comprimentos diferentes. Como resultado, os três ângulos também são diferentes.

Na figura acima, o triângulo ABC não possui lados ou ângulos iguais.

Classificação com base nos ângulos

Triângulo acutângulo

Um triângulo acutângulo é aquele em que todos os três ângulos internos são menores que 90°.

Triângulo retângulo

Um triângulo retângulo é aquele em que um dos ângulos mede exatamente 90°. O lado oposto ao ângulo reto é o lado mais longo e é chamado de hipotenusa.

No triângulo ABC, o ângulo em C é de 90°. Portanto, AB é a hipotenusa.

Triângulo obtusângulo

Um triângulo obtusângulo é aquele em que um dos ângulos é maior que 90°.

Neste diagrama, ∠ABC é maior que 90°, tornando ABC um triângulo obtusângulo.

Propriedades dos triângulos

Ângulos de um triângulo

Como mencionado anteriormente, a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°. Este fato é fundamental para entender os triângulos e resolver muitos problemas envolvendo-os.

Suponha que os ângulos de um triângulo sejam A, B e C. Então a equação é:

A + B + C = 180°

Teorema da desigualdade do triângulo

O teorema da desigualdade do triângulo afirma que a soma dos comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo deve ser maior que o comprimento do terceiro lado. Para um triângulo com lados rotulados a, b e c, as desigualdades são:

a + b > c

a + c > b

b + c > a

Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras se aplica a triângulos retângulos. Ele afirma que, em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados. Se a hipotenusa for c:

c² = a² + b²

Por exemplo, em um triângulo retângulo:

a = 3, b = 4, c = 5

O teorema de Pitágoras é o seguinte:

5² = 3² + 4²

então:

25 = 9 + 16

25 = 25

Congruência em triângulos

Congruência significa que dois triângulos têm exatamente o mesmo tamanho e forma. Se dois triângulos são congruentes, então seus lados e ângulos correspondentes são iguais. Existem várias propriedades ou critérios para a congruência de triângulos.

Critérios de conformidade

• SSS (Lado-Lado-Lado): Se três lados de um triângulo são iguais a três lados de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.
• SAS (Lado-Ângulo-Lado): Se dois lados e o ângulo entre eles de um triângulo são iguais a dois lados e o ângulo entre eles de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.
• ASA (Ângulo-Lado-Ângulo): Se dois ângulos e o lado incluído de um triângulo são iguais a dois ângulos e o lado incluído de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.
• AAS (Ângulo-Ângulo-Lado): Se dois ângulos e um lado não-conectado de um triângulo são iguais a dois ângulos e o lado correspondente não-conectado de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.
• RHS (Ângulo Reto-Hipotenusa-Lado): Em triângulos retângulos, se a hipotenusa e um lado de um triângulo são iguais à hipotenusa e a um lado do outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

Área e perímetro de triângulos

Perímetro

O perímetro de um triângulo é a soma dos comprimentos de seus lados. Se os lados do triângulo são a, b e c, então o perímetro P é calculado como:

P = a + b + c

Área

A fórmula geral para a área de um triângulo é:

Área = 0,5 × base × altura

Se a base é b e a altura é h, então:

Área = 0,5 × b × h

Por exemplo, se a base de um triângulo é 10 unidades e a altura é 5 unidades então a área é:

Área = 0,5 × 10 × 5 = 25 unidades quadradas

Fórmula de Heron para a área

Se os lados de um triângulo são conhecidos, podemos usar a fórmula de Heron para encontrar a área. De acordo com a fórmula de Heron:

Primeiro, calcula o semiperímetro s do triângulo:

s = (a + b + c) / 2

Então, a área A é dada por:

A = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]

Vamos considerar um triângulo com lados 7, 8 e 9 unidades:

Semiperímetro:

s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12

Usando a fórmula de Heron:

A = √[12(12-7)(12-8)(12-9)] = √[12×5×4×3] = √720 ≈ 26,83 unidades quadradas

Medianas de um triângulo

A mediana de um triângulo é um segmento de linha que conecta o vértice ao ponto médio do lado oposto. Todo triângulo tem três medianas e todas se encontram em um ponto chamado centróide. O centróide divide cada mediana em duas partes, uma das quais é duas vezes o comprimento da outra.

Resumo

Os triângulos são figuras fundamentais na geometria, com propriedades e características únicas que os tornam interessantes para estudar. Eles podem ser classificados com base em seus lados e ângulos. Desde a soma de ângulos de 180° até critérios de congruência, o teorema de Pitágoras em triângulos retângulos, e cálculos de área e perímetro; os triângulos oferecem uma riqueza de desafios matemáticos fascinantes e aplicações.

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