三角形

三角形は、3つの辺を持つ多角形です。これは幾何学において最も単純な形の1つであり、いくつかの興味深い特性を持っています。「triangle」という言葉はラテン語に由来しています；「tri-」は3つを意味し、「-angulus」は角や角度を意味します。従って、三角形は三つの角を持つ形です。

三角形の基本

三角形の種類、特性、ルールを議論する前に、三角形の基本要素を理解しましょう。

• 辺: 三角形には3つの辺があります。これらは三角形の境界を形成する直線です。
• 頂点: 三角形には3つの頂点があります。頂点は三角形の2つの側面が交わる点です。
• 角: 三角形には3つの角があります。三角形の内角の合計は常に180°です。

三角形の種類

三角形は2つの基準に基づいて分類できます：

• 辺に基づく。
• 角度に基づく。

辺に基づく分類

正三角形

正三角形は、3つの辺が等しい長さを持ち、したがって3つの角も等しくなります。それぞれ60°です。

上の図では、三角形ABCはAB = BC = CAの正三角形です。

二等辺三角形

二等辺三角形では、2つの辺が等しい長さであり、これらの辺に向かい合った角度も同じです。

三角形ABCでは、AB = ACの場合、二等辺三角形となり、角度∠ABCと∠ACBが等しいです。

不等辺三角形

不等辺三角形は、3つの辺がそれぞれ異なる長さを持ち、結果として3つの角も異なります。

上の図では、三角形ABCは等しい辺や角を持っていません。

角度に基づく分類

鋭角三角形

鋭角三角形は、3つの内角すべてが90°未満である三角形です。

直角三角形

直角三角形は、1つの角が正確に90°である三角形です。直角に対する辺は最も長い辺で、斜辺と呼ばれます。

三角形ABCでは、Cの角が90°です。したがって、ABが斜辺です。

鈍角三角形

鈍角三角形は、1つの角が90°より大きい三角形です。

この図では、∠ABCは90°より大きいため、ABCは鈍角三角形です。

三角形の特性

三角形の角度

前述のように、三角形の内角の合計は常に180°です。これは、三角形を理解し、それに関連する多くの問題を解決するための基本です。

三角形の角度がA、B、Cであると仮定します。この場合、方程式は以下のようになります：

A + B + C = 180°

三角不等式定理

三角不等式定理は、三角形の任意の2つの辺の長さの合計が3番目の辺の長さよりも大きくなければならないことを述べています。三角形の辺がa、b、cである場合、不等式は以下のようになります：

a + b > c

a + c > b

b + c > a

ピタゴラスの定理

ピタゴラスの定理は直角三角形に適用されます。これにより、直角三角形の斜辺の長さの二乗が他の二辺の長さの二乗の合計に等しいことが示されています。斜辺がcの場合：

c² = a² + b²

例えば、直角三角形では：

a = 3, b = 4, c = 5

ピタゴラスの定理は以下の通りです：

5² = 3² + 4²

つまり：

25 = 9 + 16

25 = 25

合同な三角形

合同とは、2つの三角形が正確に同じサイズと形状を持つことを意味します。2つの三角形が合同である場合、それらの対応する辺と角度は等しいです。三角形の合同にはいくつかの性質または基準があります。

合同性の基準

• SSS (辺-辺-辺): 一方の三角形の3つの辺が他方の三角形の3つの辺に等しい場合、三角形は合同です。
• SAS (辺-角-辺): 一方の三角形の2つの辺とその間の角が他方の三角形の2つの辺とその間の角に等しい場合、三角形は合同です。
• ASA (角-辺-角): 一方の三角形の2つの角とそれに含まれる辺が他方の三角形の2つの角とそれに含まれる辺に等しい場合、三角形は合同です。
• AAS (角-角-辺): 一方の三角形の2つの角と連結されていない辺が他方の三角形の2つの角と対応する連結されていない辺に等しい場合、三角形は合同です。
• RHS (直角-斜辺-辺): 直角三角形では、斜辺と1つの辺が他方の三角形の斜辺と1つの辺に等しい場合、三角形は合同です。

三角形の面積と周辺

周り

三角形の周囲は、その辺の長さの合計です。三角形の辺がa、b、cである場合、周囲Pは次のように計算されます：

P = a + b + c

面積

三角形の一般的な面積の公式は次の通りです：

面積 = 0.5 × 底辺 × 高さ

底辺がbで、高さがhの場合：

面積 = 0.5 × b × h

例えば、三角形の底辺が10単位、高さが5単位である場合、その面積は:

面積 = 0.5 × 10 × 5 = 25 平方単位

面積のためのヘロンの公式

三角形の辺が知られている場合、ヘロンの公式を使用して面積を求めることができます。ヘロンの公式によれば：

最初に三角形の半周長sを計算します：

s = (a + b + c) / 2

次に、領域Aは次のように与えられます：

A = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]

側面7、8、9単位の三角形を考えましょう：

半周長:

s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12

ヘロンの公式を使用します：

A = √[12(12-7)(12-8)(12-9)] = √[12×5×4×3] = √720 ≈ 26.83 平方単位

三角形の中線

三角形の中線は、頂点を反対側の中点に接続する線分です。すべての三角形には3つの中線があり、それらはすべて重心と呼ばれる点で交わります。重心は各中線を2つの部分に分け、1つは他の部分の2倍の長さを持ちます。

まとめ

三角形は、幾何学において基本的な図形であり、特有の特性や特質を持ち、研究するのに興味深いものです。それらは辺や角度に基づいて分類されます。180°の角の合計から合同性の基準、直角三角形におけるピタゴラスの定理、面積と周囲の計算まで、三角形は魅力的な数学的挑戦と応用の豊富さを提供します。

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