त्रिभुज

त्रिभुज एक बहुभुज है जिसमें तीन भुजाएँ होती हैं। यह ज्यामिति में सबसे सरल आकृतियों में से एक है और इसमें कुछ रोचक गुण होते हैं। "त्रिभुज" शब्द लैटिन से आया है; "त्रि-" का अर्थ तीन होता है और "-एंगुलस" का अर्थ कोना या कोण होता है। इसलिए, त्रिभुज एक आकृति है जिसमें तीन कोण होते हैं।

त्रिभुज की बुनियादी बातें

हम त्रिभुज के प्रकार, गुण और नियमों पर चर्चा करने से पहले, त्रिभुज के बुनियादी तत्वों को समझ लें।

• भुजाएँ: एक त्रिभुज में तीन भुजाएँ होती हैं। ये वे सीधी रेखाएँ हैं जो त्रिभुज की सीमाएँ बनाती हैं।
• शीर्ष: एक त्रिभुज में तीन शीर्ष होते हैं। एक शीर्ष वह बिंदु होता है जहाँ त्रिभुज की दो भुजाएँ मिलती हैं।
• कोण: एक त्रिभुज में तीन कोण होते हैं। त्रिभुज की आंतरिक कोणों का योग सदैव 180° होता है।

त्रिभुज के प्रकार

त्रिभुज को दो मानदंडों के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है:

• उनके पक्ष में।
• उनके कोण से।

भुजाओं के आधार पर वर्गीकरण

समबाहु त्रिभुज

समबाहु त्रिभुज वह त्रिभुज है जिसमें तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं, और इसीलिए उसके तीनों कोण भी बराबर होते हैं, प्रत्येक 60° के।

ऊपर की आकृति में, त्रिभुज ABC समबाहु है जिसकी भुजाएँ AB = BC = CA हैं

समद्विबाहु त्रिभुज

समद्विबाहु त्रिभुज में दो भुजाएँ बराबर होती हैं और इन भुजाओं के विपरीत कोण भी बराबर होते हैं।

त्रिभुज ABC में, यदि AB = AC, तो यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें ∠ABC और ∠ACB कोण बराबर हैं।

विषमबाहु त्रिभुज

विषमबाहु त्रिभुज वह त्रिभुज है जिसमें तीनों भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की होती हैं। परिणामस्वरूप, उसके तीनों कोण भी अलग-अलग होते हैं।

ऊपर की आकृति में, त्रिभुज ABC की भुजाएँ या कोण समान नहीं हैं।

कोणों के आधार पर वर्गीकरण

कोणीय त्रिभुज

कोणीय त्रिभुज वह त्रिभुज है जिसके सभी तीन आंतरिक कोण 90° से कम होते हैं।

समकोण त्रिभुज

समकोण त्रिभुज वह त्रिभुज है जिसमें एक कोण ठीक 90° होता है। समकोण के सामने की भुजा सबसे लंबी होती है और उसे कर्ण कहते हैं।

त्रिभुज ABC में, C पर कोण 90° है। इसलिए, AB कर्ण है।

अधिकोण त्रिभुज

अधिकोण त्रिभुज वह त्रिभुज है जिसमें एक कोण 90° से अधिक होता है।

इस चित्र में, ∠ABC 90° से अधिक है, जिससे ABC एक अधिकोण त्रिभुज बनता है।

त्रिभुजों के गुण

त्रिभुज के कोण

जैसा कि पहले कहा गया है, त्रिभुज की आंतरिक कोणों का योग सदैव 180° होता है। यह तथ्य त्रिभुजों को समझने और उनसे संबंधित कई समस्याओं को हल करने के लिए मूलभूत है।

मान लें कि त्रिभुज के कोण A, B और C हैं। तब समीकरण होगा:

A + B + C = 180°

त्रिभुज असमानता प्रमेय

त्रिभुज असमानता प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज के किसी भी दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए। यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ a, b और c हैं, तो असमानताएँ हैं:

a + b > c

a + c > b

b + c > a

पाइथागोरस प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय समकोण त्रिभुजों में लागू होता है। यह कहता है कि समकोण त्रिभुज में कर्ण की लंबाई का वर्ग अन्य दो भुजाओं की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है। यदि कर्ण c है:

c² = a² + b²

उदाहरण के लिए, एक समकोण त्रिभुज में:

a = 3, b = 4, c = 5

पाइथागोरस प्रमेय इस प्रकार है:

5² = 3² + 4²

तो:

25 = 9 + 16

25 = 25

त्रिभुजों में सर्वांगसमता

सर्वांगसमता का अर्थ है कि दो त्रिभुजों का आकार और आकार बिल्कुल समान होता है। यदि दो त्रिभुज समरूप हैं, तो उनकी संबंधित भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं। त्रिभुज समरूपता के लिए कई गुण या मानदंड हैं।

अनुरूपता मानदंड

• SSS (साइड-साइड-साइड): यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर होती हैं, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
• SAS (साइड-एंगल-साइड): यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर होता है, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
• ASA (एंगल-साइड-एंगल): यदि एक त्रिभुज के दो कोण और शामिल भुजा दूसरे त्रिभुज के दो कोण और शामिल भुजा के बराबर होते हैं, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
• AAS (एंगल-एंगल-साइड): यदि एक त्रिभुज के दो कोण और एक गैर-संयुक्त भुजा दूसरे त्रिभुज के दो कोण और संबंधित गैर-संयुक्त भुजा के बराबर होते हैं, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
• RHS (समकोण-कर्ण-भुजा): समकोण त्रिभुजों में, यदि एक त्रिभुज का कर्ण और एक भुजा दूसरे त्रिभुज का कर्ण और एक भुजा के बराबर होता है, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

त्रिभुजों का क्षेत्रफल और परिमिति

परिमिति

एक त्रिभुज की परिमिति उसके भुजाओं की लंबाइयों का योग होता है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ a, b और c हैं, तो परिमिति P इस प्रकार ज्ञात की जाती है:

P = a + b + c

क्षेत्रफल

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सामान्य सूत्र है:

क्षेत्रफल = 0.5 × आधार × ऊँचाई

यदि आधार b है और ऊँचाई h है, तो:

क्षेत्रफल = 0.5 × b × h

उदाहरण के लिए, यदि त्रिभुज का आधार 10 इकाइयाँ है और ऊँचाई 5 इकाइयाँ है तो क्षेत्रफल होगा:

क्षेत्रफल = 0.5 × 10 × 5 = 25 वर्ग इकाइयाँ

क्षेत्र के लिए हेरॉन का सूत्र

यदि त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात हैं, तो हम हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके क्षेत्रफल पा सकते हैं। हेरॉन के सूत्र के अनुसार:

पहले, त्रिभुज की अर्द्धपरिधि s की गणना करें:

s = (a + b + c) / 2

फिर, क्षेत्र A इस प्रकार दिया गया है:

A = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]

आइए एक उदाहरण लें जिसमें त्रिभुज की भुजाएँ 7, 8 और 9 इकाइयाँ हैं:

अर्द्धपरिधि:

s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12

हेरॉन के सूत्र का उपयोग करते हुए:

A = √[12(12-7)(12-8)(12-9)] = √[12×5×4×3] = √720 ≈ 26.83 वर्ग इकाइयाँ

त्रिभुज की माध्यिकाएँ

त्रिभुज की माध्यिका वह रेखा खंड होती है जो शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्यबिंदु से जोड़ती है। प्रत्येक त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ होती हैं, और वे सभी किसी एक बिंदु, जिसे केंद्रक कहते हैं, पर मिलती हैं। केंद्रक प्रत्येक माध्यिका को दो भागों में विभाजित करता है, जिसमें से एक भाग दूसरे से दो गुना लंबा होता है।

सारांश

त्रिभुज ज्यामिति में बुनियादी आकृतियाँ हैं, जिनके अद्वितीय गुण और विशेषताएँ उन्हें अध्ययन के लिए रुचिकर बनाती हैं। इन्हें उनके भुजाओं और कोणों के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है। त्रिभुजों के अध्ययन में 180° कोणों का योग, समरूपता मानदंड, समकोण त्रिभुजों में पाइथागोरस प्रमेय, और क्षेत्रफल और परिमिति की गणनाएँ गंभीर अध्ययन सामग्री और चुनौतीपूर्ण गणितीय समस्याएँ प्रस्तुत करती हैं।

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