Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

Grado 9 ↓


Triángulo


Un triángulo es un polígono con tres lados. Es una de las formas más simples en geometría y tiene algunas propiedades interesantes. La palabra "triángulo" proviene del latín; "tri-" significa tres y "-ángulus" significa esquina o ángulo. Por lo tanto, un triángulo es una forma que tiene tres ángulos.

Fundamentos de los triángulos

Antes de discutir los tipos, propiedades y reglas de los triángulos, comprendamos los elementos básicos de un triángulo.

  • Lados: Un triángulo tiene tres lados. Estos son las líneas rectas que forman los límites del triángulo.
  • Vértices: Un triángulo tiene tres vértices. Un vértice es el punto donde se encuentran dos lados de un triángulo.
  • Ángulos: Un triángulo tiene tres ángulos. La suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es 180°.

Tipos de triángulos

Los triángulos se pueden clasificar según dos criterios:

  • En sus lados.
  • Por sus ángulos.

Clasificación basada en lados

Triángulo equilátero

Un triángulo equilátero es aquel en el que los tres lados son iguales en longitud, y en consecuencia, los tres ángulos también son iguales, midiendo cada uno 60°.

A B C

En la figura anterior, el triángulo ABC es equilátero con los lados AB = BC = CA

Triángulo isósceles

En un triángulo isósceles, dos lados son de igual longitud y los ángulos opuestos a estos lados también son iguales.

A B C

En el triángulo ABC, si AB = AC, entonces es un triángulo isósceles en el que los ángulos ∠ABC y ∠ACB son iguales.

Triángulo escaleno

Un triángulo escaleno es aquel en el que los tres lados son de diferentes longitudes. Como resultado, los tres ángulos también son diferentes.

A B C

En la figura anterior, el triángulo ABC no tiene lados o ángulos iguales.

Clasificación basada en ángulos

Triángulo acutángulo

Un triángulo acutángulo es aquel en cuyo interior los tres ángulos son menores de 90°.

A B C

Triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo es aquel en el que un ángulo es exactamente 90°. El lado opuesto al ángulo recto es el lado más largo y se llama hipotenusa.

C B A

En el triángulo ABC, el ángulo en C es 90°. Por lo tanto, AB es la hipotenusa.

Triángulo obtusángulo

Un triángulo obtusángulo es aquel en el que uno de los ángulos es mayor de 90°.

A B C

En este diagrama, ∠ABC es mayor de 90°, haciendo de ABC un triángulo obtusángulo.

Propiedades de los triángulos

Ángulos de un triángulo

Como se mencionó anteriormente, la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es 180°. Este hecho es fundamental para entender los triángulos y resolver muchos problemas que los involucran.

Supongamos que los ángulos de un triángulo son A, B y C. Entonces la ecuación es:

A + B + C = 180°

Teorema de la desigualdad del triángulo

El teorema de la desigualdad del triángulo establece que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser mayor que la longitud del lado restante. Para un triángulo con lados etiquetados como a, b y c, las desigualdades son:

a + b > c
a + c > b
b + c > a

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras se aplica a los triángulos rectángulos. Establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Si la hipotenusa es c:

c² = a² + b²

Por ejemplo, en un triángulo rectángulo:

a = 3, b = 4, c = 5

El teorema de Pitágoras es el siguiente:

5² = 3² + 4²

así que:

25 = 9 + 16
25 = 25

Congruencia en triángulos

La congruencia significa que dos triángulos tienen exactamente el mismo tamaño y forma. Si dos triángulos son congruentes, entonces sus lados y ángulos correspondientes son iguales. Existen varias propiedades o criterios para la congruencia de triángulos.

Criterios de congruencia

  • LLL (Lado-Lado-Lado): Si los tres lados de un triángulo son iguales a tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
  • LAL (Lado-Ángulo-Lado): Si dos lados y el ángulo entre ellos de un triángulo son iguales a dos lados y el ángulo entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
  • ALA (Ángulo-Lado-Ángulo): Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son iguales a dos ángulos y el lado incluido de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
  • AAS (Ángulo-Ángulo-Lado): Si dos ángulos y un lado no conectado de un triángulo son iguales a dos ángulos y el lado no conectado correspondiente de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
  • RHS (Ángulo Recto-Hipotenusa-Lado): En triángulos rectángulos, si la hipotenusa y un lado de un triángulo son iguales a la hipotenusa y un lado del otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Área y perímetro de triángulos

Perímetro

El perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de sus lados. Si los lados del triángulo son a, b y c, entonces el perímetro P se calcula como:

P = a + b + c

Área

La fórmula general para el área de un triángulo es:

Área = 0.5 × base × altura

Si la base es b y la altura es h, entonces:

Área = 0.5 × b × h

Por ejemplo, si la base de un triángulo es 10 unidades y la altura es 5 unidades entonces el área es:

Área = 0.5 × 10 × 5 = 25 unidades cuadradas

Fórmula de Herón para el área

Si se conocen los lados de un triángulo, podemos usar la fórmula de Herón para encontrar el área. Según la fórmula de Herón:

Primero, calcule el semiperímetro s del triángulo:

s = (a + b + c) / 2

Luego, el área A se da por:

A = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]

Consideremos un triángulo con lados 7, 8 y 9 unidades:

Semi-perímetro:

s = (7 + 8 + 9) / 2 = 12

Usando la fórmula de Herón:

A = √[12(12-7)(12-8)(12-9)] = √[12×5×4×3] = √720 ≈ 26.83 unidades cuadradas

Medianas de un triángulo

La mediana de un triángulo es un segmento de línea que conecta el vértice con el punto medio del lado opuesto. Cada triángulo tiene tres medianas y todas se encuentran en un punto llamado el centroide. El centroide divide cada mediana en dos partes, una de las cuales es el doble de la longitud de la otra.

Resumen

Los triángulos son figuras fundamentales en la geometría, con propiedades y características únicas que los hacen interesantes de estudiar. Pueden clasificarse según sus lados y ángulos. Desde la suma de ángulos de 180° hasta criterios de congruencia, el teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos, y cálculos de área y perímetro; los triángulos ofrecen una gran cantidad de desafíos matemáticos fascinantes y aplicaciones.


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