Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Teorema de Pitágoras


El Teorema de Pitágoras es un principio fundamental en matemáticas, en particular en el estudio de la geometría. Este teorema lleva el nombre del antiguo matemático griego Pitágoras. Este teorema describe una relación especial entre los lados de un triángulo rectángulo. Establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Es un concepto importante en matemáticas que tiene varias aplicaciones en la vida diaria y en otros campos como la física, la ingeniería y la arquitectura.

Entendiendo los triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo es un tipo de triángulo en el cual uno de sus ángulos mide exactamente 90 grados, llamado ángulo recto. Tiene tres lados:

  • Hipotenusa: Este es el lado más largo del triángulo, y siempre está opuesto al ángulo recto.
  • Base: Es uno de los dos lados más cortos que forman un ángulo recto.
  • Altura: Es el otro lado más pequeño que junto con la base ayuda a formar un ángulo recto.

Miremos una representación visual de un triángulo rectángulo:



    
    
    Base
    Recto
    Oreja

Fórmula del teorema de Pitágoras

La formulación matemática del teorema de Pitágoras se expresa de la siguiente manera:

 c² = a² + b²

Aquí:

  • c es la longitud de la hipotenusa.
  • a y b son las longitudes de los otros dos lados (base y altura).

Cómo usar el teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras se puede utilizar para resolver problemas donde se necesita encontrar la longitud de uno de los lados de un triángulo rectángulo, mientras se conocen las longitudes de los otros dos lados.

Ejemplo 1: Encontrando la hipotenusa

Supongamos que tienes un triángulo rectángulo cuya base mide 3 unidades, y la altura mide 4 unidades. Podemos encontrar la longitud de la hipotenusa usando el teorema.

 a = 3 b = 4 c² = a² + b² c² = 3² + 4² c² = 9 + 16 c² = 25 c = √25 c = 5

Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa es 5 unidades.

Ejemplo 2: Encontrando el lado faltante

¿Qué pasa si necesitamos encontrar la longitud de un lado faltante que no es la hipotenusa? Consideremos un triángulo donde la hipotenusa mide 10 unidades y la base mide 6 unidades. Necesitamos encontrar la altura.

 c = 10 a = 6 b = ? c² = a² + b² 10² = 6² + b² 100 = 36 + b² b² = 100 - 36 b² = 64 b = √64 b = 8

Por lo tanto, el lado perpendicular mide 8 unidades.

Datos interesantes sobre el teorema de Pitágoras

  • El Teorema de Pitágoras solo se aplica a triángulos rectángulos.
  • Si conoces la longitud de dos lados de un triángulo rectángulo, siempre puedes encontrar el tercer lado utilizando el teorema.
  • Este teorema se puede usar para la resolución de problemas del mundo real, como navegación, arquitectura y física.

Demostraciones del teorema de Pitágoras

Hay varias maneras de mostrar por qué el Teorema de Pitágoras es verdadero. Aquí, presentamos una demostración algebraica simple:

Demostración algebraica

 - Considera dos cuadrados. Uno es grande con lado (a+b) y el otro más pequeño dentro de él de lado c. - El cuadrado grande puede dividirse en un cuadrado más pequeño de lado c² y cuatro triángulos rectángulos cada uno teniendo lados a, b (base y altura). Área del cuadrado grande = (a+b)² = a² + b² + 2ab Área de 4 triángulos = 4 × (1/2) × a × b = 2ab Así, (a+b)² - 2ab = a² + b² = Área del cuadrado más pequeño, que es c² Por lo tanto, c² = a² + b²

Aplicaciones prácticas del teorema de Pitágoras

  • Construcción: Asegurándose de que las estructuras estén niveladas y en los ángulos correctos.
  • Navegación: Determinando la distancia mínima entre puntos.
  • Arte y diseño: Creando disposiciones que aseguran simetría y proporción.
  • Topografía: Midiendo terrenos y determinando los límites de propiedades.

Extensión del teorema de Pitágoras

¿Sabías que el Teorema de Pitágoras ha sido generalizado de varias maneras? Por ejemplo, este teorema es un caso especial de la fórmula de la distancia en geometría de coordenadas. En trigonometría, el teorema es la base para definir las funciones seno, coseno y tangente para ángulos agudos en un triángulo rectángulo, relacionando las medidas de los ángulos con la longitud de los lados.

Este teorema también forma la base para el concepto de distancia euclidiana en sistemas de coordenadas más allá de dos dimensiones, conocido comúnmente como espacio euclidiano multidimensional o n-dimensional.

Problemas de práctica

Problema 1:

Un triángulo rectángulo tiene un lado de 9 cm y el otro lado de 12 cm. Encuentra la longitud de la hipotenusa.

 a = 9 b = 12 c = ? c² = a² + b² c² = 9² + 12² c² = 81 + 144 c² = 225 c = √225 c = 15

La longitud de la hipotenusa es de 15 cm.

Problema 2:

Una escalera descansa contra una pared. El pie de la escalera está a 7 m de la pared y la escalera alcanza una altura de 24 m en la pared. Encuentra la longitud de la escalera.

 base = 7 perpendicular = 24 hypotenus = ? hypotenus² = base² + perpendicular² hypotenus² = 7² + 24² hypotenus² = 49 + 576 hypotenus² = 625 hypotenus = √625 hypotenus = 25

La longitud de la escalera es de 25 metros.

Entender y aplicar el Teorema de Pitágoras es una habilidad esencial al aprender matemáticas, proporcionando información sobre no solo problemas teóricos sino también aplicaciones del mundo real. Este teorema construye un puente entre conceptos algebraicos y el entendimiento geométrico, guiando a los estudiantes hacia una comprensión más profunda de los principios matemáticos.


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