Grado 9
  1. Sistemas numéricos  1.1. Comprender los números reales  1.2. Números racionales  1.3. Números irracionales  1.4. Propiedades de los números reales  1.5. Leyes de los exponentes y radicales  1.6. Representación en la recta numérica  1.7. Representación decimal de los números reales
  2. Polinomios  2.1. Definición y tipos de polinomios  2.2. Grado de un polinomio  2.3. Ceros de un polinomio  2.4. Introducción al Teorema del Resto  2.5. Factorización de polinomios  2.6. Entendiendo las identidades algebraicas  2.7. Ecuaciones polinómicas y raíces
  3. Geometría de coordenadas  3.1. Sistema cartesiano  3.2. Dibujar puntos en un plano  3.3. Comprensión de la fórmula de distancia en geometría coordenada  3.4. Fórmula de sección  3.5. Área de un triángulo  3.6. Coordenadas del punto medio y del centroide
  4. Ecuaciones lineales en dos variables  4.1. Soluciones de una ecuación lineal  4.2. Método gráfico  4.3. Método algebraico para resolver ecuaciones lineales en dos variables  4.4. Comprendiendo las aplicaciones de ecuaciones lineales en dos variables  4.5. Introducción a las desigualdades lineales en dos variables
  5. Introducción a la geometría euclidiana  5.1. Definiciones y términos básicos en geometría euclidiana  5.2. Axiomas y postulados  5.3. Teoremas sobre ángulos y líneas  5.4. Propiedades de las líneas paralelas  5.5. Construcción de triángulos  5.6. Axioma de congruencia
  6. Líneas y ángulos  6.1. Comprensión de las relaciones entre pares de ángulos  6.2. Líneas paralelas y líneas transversales  6.3. Propiedades de los ángulos formados por líneas paralelas  6.4. Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo  6.5. Tipos de ángulos
  7. Triángulo  7.1. Congruencia de triángulos  7.2. Criterios de congruencia en triángulos  7.3. Propiedades de los triángulos  7.4. Desigualdades en un triángulo  7.5. Semejanza de triángulos  7.6. Teorema de Pitágoras
  8. Cuadrilátero  8.1. Propiedades de los cuadriláteros  8.2. Tipos de cuadriláteros  8.3. Teorema del punto medio en cuadriláteros  8.4. Propiedades de un paralelogramo  8.5. Propiedades de los trapecios y cometas  8.6. Diagonales y sus propiedades
  9. Áreas de paralelogramos y triángulos  9.1. Área del paralelogramo  9.2. Entendiendo el área de un triángulo  9.3. Pruebas de la teoría de campos  9.4. Aplicaciones de la teoría de campo
  10. Entendiendo los Círculos  10.1. Definiciones y términos  10.2. Propiedades del círculo  10.3. Comprender las propiedades de los acordes en los círculos  10.4. Tangentes a un círculo  10.5. Cuadrilátero cíclico  10.6. Comprendiendo arcos y ángulos subtendidos en círculos
  11. Construcción  11.1. Construcción básica  11.2. Construcción de bisectriz  11.3. Construcción de triángulos  11.4. Construcción de tangentes a un círculo  11.5. Construcción de ángulos de medida dada
  12. Entendiendo la fórmula de Herón  12.1. Área de un triángulo usando la fórmula de Herón  12.2. Usando la fórmula de Herón para varios triángulos y cuadriláteros  12.3. Demostración de la fórmula de Herón
  13. Área de superficie y volumen  13.1. Área de superficie de cubo, cuboide y cilindro  13.2. Volumen de un cubo, cuboide y cilindro  13.3. Área superficial y volumen de un cono  13.4. Área de superficie y volumen de esfera y semiesfera  13.5. Conversión de unidades  13.6. Volumen de un prisma
  14. Figuras  14.1. Colección de datos  14.2. Presentación de datos  14.3. Introducción a las medidas de tendencia central  14.4. Media, mediana y moda  14.5. Representación gráfica de datos  14.6. Extensión y medida de dispersión
  15. Entendiendo la Probabilidad  15.1. Introducción a la probabilidad  15.2. Probabilidad experimental  15.3. Probabilidad teórica  15.4. Problemas Simples de Probabilidad

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Semejanza de triángulos


El concepto de semejanza en triángulos es una parte importante para entender la geometría. Nos permite comparar triángulos y entender sus relaciones en términos de sus ángulos y lados. Se dice que dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

Comprendiendo la igualdad

Cuando dos triángulos son semejantes, significa que tienen la misma forma, incluso si sus tamaños son diferentes. El símbolo de semejanza es '~'. Entonces, si el triángulo ABC es semejante al triángulo DEF, lo escribimos como:

△ABC ~ △DEF

En este sentido, los ángulos correspondientes son iguales, lo que puede escribirse matemáticamente como:

∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F

y los lados correspondientes están en proporción, lo que puede expresarse como:

AB/DE = BC/EF = CA/FD

Criterios para la semejanza de triángulos

Existen varios criterios para determinar si dos triángulos son semejantes. Los criterios más comunes son:

1. Criterio ángulo-ángulo (AAA)

Si dos ángulos de un triángulo son respectivamente iguales a dos ángulos de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes. Dado que la suma de los ángulos en un triángulo es siempre 180°, si se conocen dos ángulos, entonces el tercer ángulo también debe ser igual.

Por ejemplo, consideremos los triángulos XYZ y PQR. Si:

∠X = ∠P, ∠Y = ∠Q

Entonces debe ser el caso que:

∠Z = ∠R

Por lo tanto, podemos decir:

△XYZ ~ △PQR

2. Criterio lado-lado-lado (SSS)

Si los lados correspondientes de dos triángulos están en proporción, entonces los triángulos son semejantes. Por ejemplo, en los triángulos ABC y DEF, si:

AB/DE = BC/EF = CA/FD

Entonces:

△ABC ~ △DEF

Este criterio es útil cuando solo se tiene el largo de los lados para trabajar.

3. Criterio lado-ángulo-lado (SAS)

Si un ángulo de un triángulo es igual a un ángulo de otro triángulo, y las longitudes de los lados que contienen estos ángulos están en proporción, entonces los triángulos son semejantes. Por ejemplo, en los triángulos GHI y JKL, si:

∠G = ∠J y GH/JK = HI/KL

Entonces:

△GHI ~ △JKL

Ejemplo visual

Triángulo ABC Triángulo DEF

El SVG de arriba muestra dos triángulos. El triángulo ABC (en azul) y el triángulo DEF (en rojo) son semejantes. Los ángulos ∠A, ∠B y ∠C son iguales a ∠D, ∠E y ∠F, respectivamente. Si los lados del triángulo ABC son 5, 7 y 8 unidades, y los lados correspondientes del triángulo DEF son 10, 14 y 16 unidades, entonces podemos escribir:

AB/DE = BC/EF = CA/FD 5/10 = 7/14 = 8/16 1/2 = 1/2 = 1/2

Por lo tanto, estos triángulos son semejantes por el criterio SSS.

Aplicaciones del paralelismo

La semejanza de triángulos tiene aplicaciones prácticas en una variedad de campos. En arquitectura e ingeniería, entender triángulos semejantes ayuda en el diseño de estructuras y en entender la perspectiva en los dibujos. En escenarios de la vida real, como determinar la altura de un edificio o montaña usando sombras, los triángulos semejantes hacen posible estas mediciones.

Ejemplos en la vida real

Supongamos que quieres medir la altura de un poste de luz. Su sombra es de 4 metros, mientras que la sombra de un palo de 2 metros es de 1 metro. Los triángulos formados por el poste de luz y su sombra y el palo y su sombra son semejantes:

4m 1m poste de luz palo

Ya que los triángulos construidos son semejantes, tenemos:

Altura del poste de luz / 2m = 4m / 1m

Resolviendo la proporción obtenemos la altura del poste de luz:

Altura del poste de luz = (4/1) * 2 = 8 metros

Esta técnica es simple pero poderosa, demostrando cómo la geometría puede aplicarse a situaciones prácticas.

Conclusión

Entender la semejanza de triángulos es importante porque forma la base de muchos conceptos en geometría y matemáticas. Nos enseña cómo manejar la proporcionalidad y cómo aplicar estos conceptos en la resolución de problemas de la vida real. Ya sea que estés tratando de entender las complejidades del diseño o calcular alturas y distancias, la idea de los triángulos semejantes ofrece una solución directa y efectiva.

Con práctica y aplicación, los principios de semejanza de triángulos se convierten en una herramienta esencial en tu caja de herramientas matemáticas.


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